Основные положения динамической теории дифракции
Динамическая теория дифракции описывает взаимодействие когерентного излучения (рентгеновских лучей, электронов или нейтронов) с кристаллической решёткой с учётом многократного рассеяния волн внутри кристалла. В отличие от кинематической теории, которая предполагает однократное рассеяние и применима к тонким кристаллам или слабым рассеивателям, динамическая теория учитывает интерференцию волн, многократно дифрагированных различными атомными плоскостями. Это особенно важно при анализе монокристаллов большой толщины и при условиях сильного взаимодействия излучения с веществом.
Исходным пунктом является уравнение Гельмгольца для комплексной амплитуды электромагнитной волны внутри среды:
∇2E(r) + k2n2(r)E(r) = 0,
где $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число в вакууме, λ — длина волны, n(r) — показатель преломления, зависящий от координаты в кристалле.
В случае кристаллической структуры показатель преломления периодичен:
n2(r) = 1 + χ(r),
где χ(r) — пространственно периодическая восприимчивость, раскладываемая в ряд Фурье по векторам обратной решётки h:
χ(r) = ∑hχheih ⋅ r.
В наиболее важном случае Брэгговской геометрии учитывают только две плоские волны внутри кристалла:
Амплитуда поля в кристалле представляется в виде:
E(r) = E0eik0 ⋅ r + Eheikh ⋅ r.
Подстановка в уравнение Гельмгольца и выделение членов с одинаковыми экспонентами приводит к системе уравнений Такэдза (или уравнений динамической дифракции):
(k02 − k2)E0 + k2χ0E0 + k2χ−hEh = 0,
(kh2 − k2)Eh + k2χ0Eh + k2χhE0 = 0.
Для идеального кристалла, удовлетворяющего условию Брэгга:
2dhsin θB = λ,
где dh — межплоскостное расстояние для плоскостей с индексами Миллера (hkl), θB — брэгговский угол.
При отклонении от точного условия вводится параметр отклонения:
$$ \eta = \frac{\sin\theta - \sin\theta_B}{\gamma_0}, $$
где γ0 = cos φ0 — направляющий косинус падающей волны относительно нормали к поверхности.
Система уравнений для E0 и Eh имеет нетривиальные решения при условии, что определитель коэффициентов равен нулю. Это даёт дисперсионное уравнение, описывающее две ветви поверхностей в пространстве волновых векторов — так называемые дисперсионные поверхности. Их пересечение определяет возможные состояния волн внутри кристалла.
В двухлучевом случае решение выражается через амплитуды:
E0(z) = C1eikz1z + C2eikz2z,
Eh(z) = ρ1C1eikz1z + ρ2C2eikz2z,
где ρ1, 2 — коэффициенты связи между основной и дифрагированной волнами, определяемые из уравнений динамической теории.