Дисперсионные соотношения для фононов

Общие положения и физический смысл

Дисперсионные соотношения для фононов представляют собой зависимость частоты колебаний кристаллической решётки от волнового вектора. Они определяют динамические свойства твёрдого тела и напрямую связаны с тепловыми, акустическими и оптическими характеристиками кристаллов. Поскольку фонон — это квазичастица, описывающая коллективное колебание атомов в твёрдом теле, его энергия и импульс подчиняются определённым законам дисперсии, аналогичным законам для фотонов или электронов, но с учётом дискретной структуры решётки и взаимодействия атомов.

Одномерная модель кристаллической решётки

Для понимания природы дисперсии фононов удобно начать с одномерной моноатомной цепочки из N одинаковых атомов массы m, соединённых упругими связями с силовой постоянной C и равным межатомным расстоянием a. Уравнение движения для смещения un(t) атома с номером n записывается как

$$ m \frac{d^2 u_n}{dt^2} = C \left[ u_{n+1} - u_n \right] + C \left[ u_{n-1} - u_n \right]. $$

Предполагая волновое решение вида

un(t) = u0ei(kna − ωt),

получаем дисперсионное соотношение

$$ \omega(k) = 2 \sqrt{\frac{C}{m}} \left| \sin\left(\frac{ka}{2}\right) \right|. $$

Эта формула демонстрирует непрямолинейный характер зависимости ω от k, отличающийся от дисперсии свободных волн. Максимальная частота достигается при $k = \pm \frac{\pi}{a}$ — это граница первой зоны Бриллюэна.

Групповая и фазовая скорости

  • Фазовая скорость:

$$ v_{\text{ф}} = \frac{\omega(k)}{k}. $$

  • Групповая скорость:

$$ v_{\text{гр}} = \frac{d\omega}{dk} = a\sqrt{\frac{C}{m}} \cos\left(\frac{ka}{2}\right). $$

Вблизи k → 0 групповая и фазовая скорости совпадают и соответствуют скорости звука в кристалле. При приближении к краю зоны Бриллюэна vгр → 0, что означает замедление переноса энергии высокочастотных фононов.

Двухатомная цепочка и акустические и оптические ветви

В реальных кристаллах часто встречаются элементарные ячейки с несколькими различными атомами. Для одномерной двухатомной цепочки с массами m1 и m2 дисперсионное соотношение имеет вид

$$ \omega^2(k) = \frac{C}{m_1} + \frac{C}{m_2} \pm \sqrt{ \left( \frac{C}{m_1} + \frac{C}{m_2} \right)^2 - \frac{4C^2}{m_1 m_2} \sin^2\left(\frac{ka}{2}\right) }. $$

Знак «−» соответствует акустической ветви, частота которой обращается в ноль при k → 0. Знак «+» соответствует оптической ветви, обладающей ненулевой частотой в точке k = 0 из-за колебаний атомов навстречу друг другу внутри элементарной ячейки.

Особенности дисперсионных кривых

  1. Акустические фононы — отвечают за передачу упругих деформаций и теплоперенос. Их частоты линейно возрастают при малых k.
  2. Оптические фононы — играют ключевую роль во взаимодействии с электромагнитным излучением, особенно в ИК-диапазоне.
  3. В трёхмерных кристаллах каждая точка зоны Бриллюэна содержит 3 акустические и 3(s − 1) оптических ветвей, где s — число атомов в элементарной ячейке.
  4. При учёте дальнодействующих взаимодействий и анизотропии упругих свойств кристалла дисперсионные кривые приобретают более сложную форму, включая несимметричность и изгибы.

Связь с экспериментом

Дисперсионные зависимости фононов измеряются методами неупругого рассеяния нейтронов, рентгеновского рассеяния с большой энергией и неупругого рассеяния света (эффект Бриллюэна и комбинационное рассеяние). Полученные кривые позволяют определить упругие константы, силу межатомных взаимодействий и механизмы теплопереноса.

Влияние дисперсии на тепловые свойства

Вклад фононов в теплоёмкость и теплопроводность определяется интегрированием по всем возможным состояниям с учётом ω(k). В частности, модель Дебая использует аппроксимацию линейной дисперсии для акустических ветвей вблизи k = 0, что хорошо описывает поведение теплоёмкости при низких температурах.

Роль дисперсии в нелинейных и дефектных системах

В присутствии дефектов или при больших амплитудах колебаний дисперсионные соотношения могут изменяться: появляются локализованные моды, зонные зазоры, а также нелинейные фононные состояния — бризеры и солитоны. Это особенно важно в наноструктурах и сверхрешётках, где размерные эффекты существенно искажают стандартные кривые ω(k).

Оглавление