Основные физические принципы эффекта Холла
Эффект Холла заключается в возникновении поперечного электрического поля в проводнике, по которому протекает электрический ток, при наличии внешнего магнитного поля, направленного перпендикулярно к току. Это явление связано с действием силы Лоренца на заряженные носители.
Если ток течет вдоль оси x, а магнитное поле B направлено вдоль оси z, то под действием силы Лоренца заряды смещаются в сторону оси y. Это приводит к накоплению заряда на противоположных гранях образца и появлению электрического поля Ey, компенсирующего действие магнитной силы.
Математически эффект Холла описывается уравнением:
Ey = RHjxBz,
где RH — коэффициент Холла, jx — плотность тока, Bz — магнитная индукция.
Коэффициент Холла и его физический смысл
Коэффициент Холла определяется как:
$$ R_H = \frac{E_y}{j_x B_z}. $$
В модели свободных электронов Друде:
$$ R_H = -\frac{1}{ne}, $$
где n — концентрация носителей заряда, e — элементарный заряд. Знак RH зависит от типа носителей:
Измерение RH позволяет экспериментально определить концентрацию носителей и их тип в металле, что делает эффект Холла важным инструментом диагностики электронных свойств веществ.
Микроскопическое описание эффекта
В рамках классической теории Друде электроны рассматриваются как квазисвободные частицы, подверженные силам электрического поля и магнитного поля. Движение носителей описывается уравнением:
$$ m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = -e (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) - \frac{m\mathbf{v}}{\tau}, $$
где τ — время релаксации.
В стационарном режиме средняя скорость носителей v определяется балансом между электрической и магнитной силами. Поперечная компонента поля Ey устанавливается так, чтобы средняя поперечная скорость была равна нулю.
Тензор проводимости и Холловская проводимость
В присутствии магнитного поля тензор проводимости σαβ приобретает недиагональные элементы:
$$ \mathbf{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ -\sigma_{xy} & \sigma_{xx} \end{pmatrix} \mathbf{E}. $$
Элемент σxy связан с эффектом Холла и определяется формулой:
$$ \sigma_{xy} = \frac{ne}{B} \cdot \frac{\omega_c \tau}{1 + (\omega_c \tau)^2}, $$
где $\omega_c = \frac{eB}{m}$ — циклотронная частота.
При слабых магнитных полях (ωcτ ≪ 1) зависимость σxy от поля линейна, а при сильных полях (ωcτ ≫ 1) наступает насыщение.
Особенности эффекта Холла в реальных металлах
В реальных кристаллах распределение электронов по зонам энергии и наличие нескольких типов носителей заряда приводят к отклонениям от простой формулы Друде. Для металлов с несколькими зонами проводимости коэффициент Холла может иметь сложную зависимость от температуры и магнитного поля.
В случае, если существуют и электроны, и дырки, коэффициент Холла выражается как:
$$ R_H = \frac{p\mu_h^2 - n\mu_e^2}{e(p\mu_h + n\mu_e)^2}, $$
где n, p — концентрации электронов и дырок, μe, μh — их подвижности.
Аномальный эффект Холла
В некоторых ферромагнитных металлах наблюдается аномальный эффект Холла, при котором помимо обычного магнитного вклада появляется дополнительный, пропорциональный намагниченности образца M:
Ey = R0jxBz + Rsjxμ0M,
где R0 — обычный коэффициент Холла, Rs — аномальный.
Аномальный вклад связан с сильным спин-орбитальным взаимодействием и особенностями рассеяния электронов в магнитных кристаллах.
Практическое применение эффекта Холла
Эффект Холла широко используется в экспериментальной физике и электронике: