Понятие эффективной массы
В кристалле движение электрона значительно отличается от движения свободной частицы в вакууме. Электрон взаимодействует с периодическим потенциалом ионной решётки, а также с другими электронами и квазичастицами (фононами, магнонами и т. д.). Для описания поведения носителей заряда в зоне проводимости или валентной зоне вводится понятие эффективной массы m*, которое позволяет формально использовать уравнения механики Ньютона и квантовой механики, заменив реальную массу электрона m0 на величину, учитывающую влияние периодической среды.
Эффективная масса — это параметр, определяющий соотношение между силой, приложенной к электрону, и его ускорением в кристалле. Она также описывает кривизну энергетического спектра вблизи экстремумов зонной структуры.
Математическое определение
В теории зонных структур энергия электрона E зависит от квазиимпульса k. Вблизи минимума зоны проводимости или максимума валентной зоны можно разложить E(k) в ряд Тейлора:
$$ E(\mathbf{k}) \approx E_0 + \frac{\hbar^2}{2} \sum_{i,j} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j} (k_i - k_{i0})(k_j - k_{j0}), $$
где E0 — энергия в точке экстремума k0, а вторая производная характеризует кривизну спектра.
Эффективная масса вводится через тензор эффективной массы:
$$ \left( m^* \right)^{-1}_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}. $$
В изотропных случаях (когда поверхность постоянной энергии сферическая) эффективная масса является скалярной величиной:
$$ m^* = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2 E}{\partial k^2}}. $$
Физический смысл
Эффективная масса определяет, насколько «тяжёлым» ведёт себя электрон в кристалле при воздействии внешней силы. Чем больше кривизна дисперсионной зависимости E(k), тем меньше эффективная масса. Если кривая E(k) почти плоская, электрону трудно ускоряться, и его эффективная масса велика.
В отличие от вакуумной массы электрона m0, эффективная масса может:
Эффективная масса и уравнение движения
Для свободной частицы уравнение движения имеет вид:
$$ \mathbf{F} = m_0 \frac{d\mathbf{v}}{dt}. $$
В кристалле, используя групповую скорость электрона
$$ \mathbf{v} = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}} E(\mathbf{k}), $$
и учитывая динамику квазиимпульса $\hbar \frac{d\mathbf{k}}{dt} = \mathbf{F}$, получаем:
$$ \mathbf{F} = m^* \frac{d\mathbf{v}}{dt}. $$
Таким образом, m* играет ту же роль, что и масса в вакууме, но с учётом влияния решётки.
Эффективная масса дырок
Вблизи максимума валентной зоны вторая производная энергии по k отрицательна, что приводит к отрицательной эффективной массе электронов в этой зоне. Для упрощения описания вводят понятие дырок — квазичастиц с положительным зарядом и положительной эффективной массой:
mh* = −me*.
Такой подход позволяет симметрично описывать носителей заряда в валентной зоне и в зоне проводимости.
Анизотропия эффективной массы
В реальных кристаллах зонная структура часто анизотропна. В этом случае эффективная масса описывается тензором второго ранга:
$$ m^*_{ij} = \left[ \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j} \frac{1}{\hbar^2} \right]^{-1}. $$
В простейшем случае эллипсоидальной поверхности постоянной энергии:
$$ E = E_0 + \frac{\hbar^2 k_x^2}{2 m_x} + \frac{\hbar^2 k_y^2}{2 m_y} + \frac{\hbar^2 k_z^2}{2 m_z}, $$
масса вдоль каждой координатной оси различна (mx, my, mz).
Эффективная масса и плотность состояний
При расчёте электронной плотности состояний (DOS) вводят так называемую плотностную эффективную массу mDOS*, которая учитывает влияние формы поверхности постоянной энергии на число доступных квантовых состояний. Для параболического изотропного спектра:
mDOS* = m*.
Для анизотропного эллипсоида:
mDOS* = (mxmymz)1/3.
Эффективная масса в полупроводниках
В полупроводниках эффективная масса определяет ключевые параметры носителей заряда:
В GaAs эффективная масса электрона составляет m* ≈ 0.067m0, что обуславливает высокую подвижность, а в кремнии — m* ≈ 0.26m0.
Отрицательная и аномальная эффективная масса
Отрицательная эффективная масса возникает при движении электрона вблизи максимума зоны. Внешняя сила в таком случае приводит к ускорению в противоположном направлении, что удобно интерпретировать через концепцию дырок.
В некоторых сильно коррелированных системах и при наличии сильных взаимодействий с фононами (поляронные эффекты) эффективная масса может значительно превышать m0 — вплоть до сотен его значений. Это приводит к замедлению переноса заряда.