Элементарная ячейка и базис

Понятие элементарной ячейки

Элементарная ячейка — это минимальный объём в кристаллической решётке, знание которого позволяет воспроизвести всю кристаллическую структуру путём параллельного переноса в трёхмерном пространстве. Она является основным строительным блоком периодической структуры кристалла, определяя пространственное расположение узлов решётки и симметрию кристалла.

Элементарная ячейка характеризуется параметрами решётки — длинами рёбер a, b, c и углами между ними α, β, γ. Эти шесть параметров полностью определяют геометрию ячейки и относятся к одному из семи кристаллографических систем.

Типы элементарных ячеек

В зависимости от выбора границ и расположения узлов, выделяют несколько видов элементарных ячеек:

  1. Примитивная (P) — содержит только один узел решётки в пересчёте на объём ячейки. Все узлы расположены по вершинам параллелепипеда, и каждая вершина принадлежит восьми смежным ячейкам.
  2. Объёмно-центрированная (I) — помимо вершин, содержит один дополнительный узел в центре ячейки.
  3. Гранецентрированная (F) — кроме вершин, имеет узлы в центрах всех граней.
  4. Осесимметричная (C или A, B) — узлы добавлены в центры двух противоположных граней.

Выбор типа ячейки зависит от симметрии кристалла. Наиболее часто в кристаллографии используется ячейка Браве, которая отражает все симметрийные свойства кристаллической решётки и упрощает математическое описание.

Примитивная ячейка и ячейка Вигнера–Зейтца

Примитивная ячейка — минимальная по объёму область, при трансляции которой воспроизводится вся кристаллическая решётка. Особым случаем является ячейка Вигнера–Зейтца, которая строится путём соединения узла с его ближайшими соседями и проведения серединных перпендикулярных плоскостей. Эта ячейка имеет ту же симметрию, что и кристаллическая решётка, и удобна для анализа зон Бриллюэна в теории твёрдого тела.

Базис кристаллической решётки

Для полного описания кристалла недостаточно лишь информации о геометрии решётки. В каждом узле может находиться не один атом, а группа атомов, упорядоченных определённым образом. Эта группа называется базисом (или мотивом).

Кристаллическая структура может быть представлена как сумма:

Кристаллическая структура = Трансляционная решётка + Базис

Базис определяется:

  • числом атомов в узле;
  • их относительными координатами внутри элементарной ячейки;
  • типом атомов (химическим составом);
  • ориентацией молекулярных групп.

Координаты атомов в базисе

Положение атомов внутри элементарной ячейки удобно задавать в дробных координатах относительно векторов элементарных трансляций a1, a2, a3. Если атом в ячейке имеет координаты (x, y, z), это означает, что его положение относительно узла определяется как:

r = x a1 + y a2 + z a3

где 0 ≤ x, y, z < 1.

Связь между ячейкой и базисом

Если в узле решётки находится только один атом, то базис является тривиальным, и структура совпадает с решёткой Браве. При наличии нескольких атомов или сложных молекул структура перестаёт быть простой, однако остаётся периодической. Примером является кристалл NaCl: решётка — кубическая гранецентрированная, но базис включает два атома — Na и Cl, смещённые друг относительно друга.

Критерии выбора элементарной ячейки

Для практических задач кристаллографии элементарная ячейка должна:

  • отражать полную симметрию кристалла;
  • быть минимальной по объёму;
  • содержать целое число атомов базиса;
  • обеспечивать удобство в расчётах (особенно в рентгеноструктурном анализе).

Значение в физике конденсированного состояния

Понимание понятия элементарной ячейки и базиса является фундаментальным для описания свойств твёрдых тел:

  • определение плотности вещества и массовых характеристик;
  • расчёт зонной структуры электронов;
  • моделирование тепловых и механических свойств;
  • прогнозирование оптических характеристик.
Оглавление