Феноменологическая теория Гинзбурга-Ландау

Основные предпосылки феноменологического подхода Феноменологическая теория Гинзбурга–Ландау (ГЛ) была предложена в 1950 году В. Л. Гинзбургом и Л. Д. Ландау как макроскопическое описание сверхпроводящего состояния, обобщающее методы теории фазовых переходов Ландау на случай сверхпроводимости. В основе теории лежит введение комплексного параметра порядка, характеризующего макроскопическое квантовое состояние конденсата куперовских пар.

Параметр порядка обозначается через

ψ(r) = |ψ(r)|eiφ(r),

где |ψ|2 пропорционально плотности сверхпроводящих электронов ns(r), а фаза φ(r) определяет макроскопическую когерентность волновой функции.

Главное допущение феноменологической теории — возможность разложения свободной энергии в виде функционала от ψ и его пространственных производных, что оправдано вблизи критической температуры Tc, где |ψ| мало.

Функционал свободной энергии Гинзбурга–Ландау Свободная энергия сверхпроводника в присутствии магнитного поля описывается как

$$ F = F_n + \int \left[ \alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2}|\psi|^4 + \frac{1}{2m^*} \left| \left( -i\hbar\nabla - \frac{2e}{c}\mathbf{A} \right) \psi \right|^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{8\pi} \right] d^3r, $$

где:

  • Fn — свободная энергия нормального состояния,
  • α = α0(T − Tc) — коэффициент, меняющий знак при переходе через Tc,
  • β > 0 — константа нелинейности,
  • m* — эффективная масса куперовской пары (m* ≈ 2me),
  • 2e — заряд куперовской пары,
  • A — вектор-потенциал магнитного поля,
  • B = ∇ × A — магнитная индукция.

Первое слагаемое α|ψ|2 описывает линейную зависимость энергии от параметра порядка, второе — стабилизирующее нелинейное взаимодействие, третье — вклад от кинетической энергии сверхтоков с учётом калибровочной инвариантности, четвёртое — магнитную энергию.

Уравнения Гинзбурга–Ландау Минимизация функционала по ψ* и A даёт систему уравнений ГЛ:

  1. Уравнение для параметра порядка:

$$ \alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m^*} \left( -i\hbar\nabla - \frac{2e}{c} \mathbf{A} \right)^2 \psi = 0. $$

  1. Уравнение для вектор-потенциала (уравнение сверхтоков):

$$ \mathbf{j}_s = \frac{2e\hbar}{m^*} \Im \left[ \psi^* \left( \nabla - i\frac{2e}{\hbar c} \mathbf{A} \right) \psi \right] = -\frac{c}{4\pi} \nabla \times \mathbf{B}. $$

Эти уравнения описывают пространственное распределение параметра порядка и сверхпроводящих токов в присутствии магнитного поля и неоднородностей.

Длина когерентности и глубина проникновения Из уравнений ГЛ можно ввести два ключевых масштаба:

  • Длина когерентности

$$ \xi(T) = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2m^*|\alpha|}} \propto (T_c - T)^{-1/2}. $$

Она характеризует протяжённость области, на которой параметр порядка существенно изменяется в пространстве.

  • Глубина проникновения Лондона

$$ \lambda(T) = \sqrt{\frac{m^*c^2\beta}{4\pi(2e)^2|\psi|^2}} \propto (T_c - T)^{-1/2}. $$

Этот параметр определяет, на какую глубину магнитное поле проникает в сверхпроводник.

Параметр Гинзбурга–Ландау Вводится безразмерная величина

$$ \kappa = \frac{\lambda}{\xi}. $$

Она играет ключевую роль в классификации сверхпроводников:

  • При $\kappa < 1/\sqrt{2}$ — сверхпроводники I рода.
  • При $\kappa > 1/\sqrt{2}$ — сверхпроводники II рода, для которых возможны вихревые состояния (решётка Абрикосова).

Магнитные критические поля Феноменология ГЛ позволяет вывести выражения для критических магнитных полей:

  • Термодинамическое критическое поле:

$$ H_c(T) = H_c(0)\left[ 1 - \left( \frac{T}{T_c} \right)^2 \right]. $$

  • Критические поля сверхпроводников II рода:

$$ H_{c1} \approx \frac{\Phi_0}{4\pi \lambda^2} \ln\kappa, \quad H_{c2} \approx \frac{\Phi_0}{2\pi \xi^2}, $$

где Φ0 = hc/2e — магнитный квант потока.

Роль калибровочной инвариантности Функционал ГЛ инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований:

$$ \psi \to \psi e^{i\chi(\mathbf{r})}, \quad \mathbf{A} \to \mathbf{A} + \frac{\hbar c}{2e} \nabla\chi. $$

Эта симметрия является отражением того, что физически наблюдаемы только комбинации ∇φ − (2e/ℏc)A, отвечающие за сверхток.

Ограничения феноменологической теории Теория Гинзбурга–Ландау строго применима вблизи Tc, где |ψ| мало и разложение по степеням параметра порядка корректно. В более широком температурном диапазоне она может использоваться как приближённая модель, особенно в задачах о структуре вихревых состояний и в мезоскопической сверхпроводимости.

Оглавление