Фононное рассеяние

Механизмы фононного рассеяния

Фононное рассеяние — это процесс, при котором изменяется направление и/или энергия фононов в результате их взаимодействия с различными неоднородностями или возмущениями в кристалле. Этот процесс играет ключевую роль в определении теплопроводности решётки, скорости релаксации колебательных возбуждений и в целом — динамических свойств твёрдых тел.

Основные механизмы рассеяния включают взаимодействия фононов между собой (ангармонические эффекты), рассеяние на примесях и дефектах, границах зёрен, а также на электронах в металлах и полупроводниках.

В идеально гармоническом приближении фононы не взаимодействуют друг с другом, однако реальный кристалл всегда содержит ангармонические члены в потенциале межатомного взаимодействия. Эти члены приводят к возможности обмена энергией и импульсом между фононами.

Типы процессов:

  • Процессы типа N (нормальные) — сохраняют полный квазиимпульс системы фононов (с точностью до обратного вектора решётки, который равен нулю для N-процессов). Они не вносят прямого сопротивления тепловому потоку, но перераспределяют фононы по направлениям.
  • Процессы типа U (умклапп) — сопровождаются изменением квазиимпульса на вектор обратной решётки. Такие процессы эффективно рассеивают тепловой поток и ограничивают теплопроводность при высоких температурах.

Особенности температурной зависимости:

  • При низких температурах фонон-фононное рассеяние слабо, так как число теплово возбужденных фононов невелико.
  • При температурах, сравнимых с температурой Дебая, U-процессы начинают доминировать, что приводит к уменьшению длины свободного пробега фононов.

Рассеяние на примесях и точечных дефектах

Введение в кристалл атомов другого сорта (изотопов или легирующих примесей) создаёт локальные возмущения в потенциальной энергии и массе узлов решётки. Эти неоднородности вызывают упругое рассеяние фононов.

Основные факторы:

  • Различие масс атомов — приводит к изменению частоты локальных колебаний и появлению локализованных мод.
  • Различие межатомных сил — изменяет локальную жёсткость связи.

Зависимость длины свободного пробега при рассеянии на примесях обычно описывается законом:

l ∝ ω−4

где ω — частота фонона. Это означает, что высокочастотные фононы рассеиваются особенно сильно.

Рассеяние на границах зёрен и поверхностях

В поликристаллических материалах и наноструктурах значительную роль играет рассеяние фононов на границах зёрен.

Механизмы:

  • Диффузное рассеяние — при шероховатых границах направление движения фонона теряется, что ведёт к сильному ограничению теплопроводности.
  • Зеркальное отражение — возможно при гладких границах и для длинноволновых фононов, длина волны которых превышает масштаб неровностей.

В наноструктурах этот механизм часто становится доминирующим, так как размеры системы сравнимы с длиной свободного пробега фононов.

Фонон-электронное рассеяние

В металлах и полупроводниках фононы могут взаимодействовать с электронами, изменяя их импульс и энергию.

Особенности:

  • В металлах при низких температурах это взаимодействие может быть основным механизмом релаксации фононов, так как число тепловых фононов невелико, а плотность электронов — велика.
  • В полупроводниках эффективность зависит от концентрации носителей заряда.

Частота такого рассеяния часто подчиняется зависимости:

τph − el−1 ∝ T

при низких температурах.

Роль фононного рассеяния в теплопроводности

Теплопроводность кристаллов, обусловленная фононами, описывается выражением:

$$ \kappa = \frac{1}{3} C_v v_s l $$

где Cv — теплоёмкость решётки, vs — скорость звука, l — длина свободного пробега.

Зависимость от температуры:

  • При низких T: теплопроводность растёт с увеличением числа фононов (приблизительно как T3), так как доминирует рассеяние на границах.
  • При высоких T: теплопроводность падает, так как U-процессы становятся главным ограничивающим фактором.

Математическое описание и модели

Для количественного анализа применяются уравнения типа Больцмана для фононов с учётом интеграла столкновений, включающего все механизмы рассеяния. Часто используют модель Маттиссена, согласно которой полный коэффициент затухания (или обратная длина свободного пробега) выражается как сумма вкладов от различных процессов:

$$ \frac{1}{l_{\text{общ}}} = \frac{1}{l_{\text{границы}}} + \frac{1}{l_{\text{примеси}}} + \frac{1}{l_{\text{ф-ф}}} + \dots $$

Оглавление