Фононы как квазичастицы

Понятие фонона и его квантовая природа

В кристаллической решётке атомы не являются абсолютно неподвижными: они совершают тепловые колебания около своих равновесных положений. Эти колебания можно рассматривать как суперпозицию нормальных мод, каждая из которых описывается гармоническим осциллятором. При квантовании колебаний кристалла вводится понятие фонона — квазичастицы, являющейся квантом колебательного движения. Фонон по своей природе аналогичен фотону в электродинамике, но соответствует не колебаниям электромагнитного поля, а колебаниям атомов в твёрдом теле.

Фонон имеет дискретную энергию, определяемую выражением

E = ℏω

где ℏ — приведённая постоянная Планка, ω — круговая частота соответствующей нормальной моды. Для описания состояния системы используется число фононов nq, s с волновым вектором q и поляризацией s.

Классификация фононов

Фононы различаются по характеру колебаний и направлению волнового вектора относительно поляризации:

  1. Акустические фононы — колебания, при которых соседние атомы смещаются в одинаковом направлении, создавая волну упругой деформации. Для малых |q| их дисперсионный закон линеен:

    ω ≈ vs|q|

    где vs — скорость звука в кристалле.

    • Продольные акустические (LA) — смещение частиц происходит вдоль направления распространения волны.
    • Поперечные акустические (TA) — смещение перпендикулярно направлению волны.

  2. Оптические фононы — колебания, при которых соседние атомы в элементарной ячейке смещаются в противоположные стороны. В точке q = 0 такие моды имеют ненулевую частоту ω0.

    • Продольные оптические (LO) — электрически заряженные ионы смещаются вдоль направления волны, что вызывает сильное взаимодействие с электромагнитным полем.
    • Поперечные оптические (TO) — смещения происходят перпендикулярно направлению распространения.

Дисперсионные соотношения и зоны Бриллюэна

Колебания кристаллической решётки подчиняются условию периодичности, что приводит к дискретизации возможных значений волнового вектора q в первой зоне Бриллюэна. Дисперсионная кривая ω(q) показывает зависимость частоты от q.

  • Для одномерной цепочки одинаковых атомов акустическая ветвь приближается к линейной зависимости при малых q, а при приближении к границе зоны Бриллюэна (q → π/a) частота стремится к максимальному значению.
  • Для цепочки из двух различных атомов в элементарной ячейке появляются две ветви: акустическая и оптическая, разделённые энергетическим зазором.

Статистическое распределение фононов

Фононы подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна, так как являются бозонами с нулевым спином. Среднее число фононов в моде с частотой ω при температуре T равно:

$$ \langle n(\omega) \rangle = \frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar\omega}{k_B T}\right) - 1} $$

где kB — постоянная Больцмана.

Это распределение объясняет температурную зависимость тепловых свойств кристаллов, в частности теплоёмкости.

Взаимодействие фононов с другими квазичастицами

Фононы активно взаимодействуют с электронами, магнонами и другими фононами. Основные процессы:

  • Электрон–фононное взаимодействие — определяет электрическое сопротивление металлов при высоких температурах, участвует в механизме сверхпроводимости (по теории БКШ).
  • Фонон–фононное взаимодействие — обусловлено ангармоничными членами в потенциале взаимодействия атомов. Возможны процессы типа q1 + q2 → q3 (процессы Умклаппа и нормальные процессы).
  • Фонон–магнонное взаимодействие — приводит к теплообмену между решёткой и спиновой подсистемой.

Тепловые свойства и модель Дебая

В рамках модели Дебая кристалл рассматривается как система независимых гармонических осцилляторов с ограниченной максимальной частотой ωD, называемой частотой Дебая. Плотность состояний фононов:

g(ω) ∝ ω2  (ω ≤ ωD)

Теплоёмкость при постоянном объёме вычисляется по формуле:

$$ C_V = 9 N k_B \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2} \, dx $$

где ΘD = ℏωD/kB — температура Дебая.

  • При T ≪ ΘD наблюдается закон CV ∝ T3.
  • При T ≫ ΘD теплоёмкость стремится к закону Дюлонга–Пти CV → 3NkB.

Роль фононов в теплопроводности

В диэлектриках и полупроводниках основным механизмом переноса тепла являются фононы. Коэффициент теплопроводности κ описывается уравнением:

$$ \kappa = \frac{1}{3} C_V v_s \ell $$

где ℓ — средняя длина свободного пробега фононов. При высоких температурах ℓ уменьшается из-за процессов Умклаппа, что приводит к падению κ.

Оптические свойства и поляритоны

В ионных кристаллах оптические фононы взаимодействуют с электромагнитным полем, образуя смешанные состояния — фонон–поляритоны. Их дисперсия характеризуется разделением на ветви с разной групповой скоростью. Это явление наблюдается, например, в инфракрасной спектроскопии.

Квантовые эффекты и современные применения

Фононы играют ключевую роль в современных исследованиях наноструктур, квантовых точек и двумерных материалов (графен, MoS₂). Управление фононными спектрами позволяет разрабатывать фононные кристаллы — структуры с запрещёнными зонами для колебаний, аналогично фотонным кристаллам в оптике. Такие материалы находят применение в тепловом менеджменте, сенсорах и квантовых технологиях.

Оглавление