Индексы Миллера

Понятие индексов Миллера

В кристаллографии индексы Миллера — это система обозначения кристаллографических плоскостей и направлений в кристаллических решётках, предложенная Уильямом Галлондом Миллером в 1839 году. Эта система используется для однозначной идентификации геометрического положения плоскостей и направлений относительно элементарной ячейки кристалла. Индексы позволяют компактно и точно описывать ориентацию кристаллографических объектов, что особенно важно при исследовании свойств анизотропных материалов.

Определение индексов для плоскостей

Индексы Миллера для плоскостей обозначаются тремя целыми числами (hkl), которые выводятся следующим образом:

  1. Определение точек пересечения плоскости с осями координат элементарной ячейки в кристаллографической системе координат (ось x — направление [100], ось y — [010], ось z — [001]). Пересечения выражаются в долях параметров решётки a, b, c.

  2. Взятие обратных величин этих отрезков:

    $$ \text{Если плоскость пересекает оси в } \frac{a}{p},\ \frac{b}{q},\ \frac{c}{r}, \ \text{то обратные величины будут } \frac{p}{a},\ \frac{q}{b},\ \frac{r}{c}. $$

  3. Приведение к целым числам путём умножения на общий знаменатель.

  4. Полученные числа записываются без запятых в круглых скобках (hkl).

Если плоскость параллельна одной из осей, то соответствующая координата пересечения считается бесконечной, а обратная величина — нулевой.

Пример: Плоскость пересекает оси в точках $a, \frac{b}{2}, \infty$. Обратные величины: 1, 2, 0 → индексы Миллера: (120).

Особые обозначения и правила

  • Если хотя бы один индекс отрицательный, его пишут со знаком минус над числом: например, $(\overline{1}01)$.
  • Индексы Миллера относятся только к параллельным семействам плоскостей, поэтому сдвиг плоскости вдоль нормали не изменяет индексов.
  • Для направления в кристалле используют квадратные скобки [uvw] — это направления Миллера.
  • Для описания всех эквивалентных направлений применяют фигурные скобки {hkl}, а для направлений — угловые скобки .

Физический смысл и роль в кристаллографии

Индексы Миллера тесно связаны с симметрией и структурой кристаллов. Плоскости с определёнными индексами соответствуют направлениям с особыми свойствами:

  • Плотнейшие плоскости (например, (111) в ГЦК и (0001) в гексагональной решётке) характеризуются максимальной плотностью упаковки атомов, что влияет на механические свойства, процессы скольжения и пластическую деформацию.
  • Анизотропия физических свойств (электропроводность, теплопроводность, оптические характеристики) часто зависит от ориентации кристаллографических плоскостей.
  • Индексы Миллера определяют ориентацию кристаллографических граней в реальных кристаллах, что важно в минералогии и материаловедении.

Индексы направлений

Для задания направления в кристалле используется вектор, исходящий из начала координат, который выражается в виде [uvw], где u, v, w — минимальные целые числа, пропорциональные проекциям вектора на оси a, b, c.

Алгоритм определения индексов направления:

  1. Определить координаты точки, в которую направлен вектор, в единицах параметров решётки.
  2. Привести полученные числа к наименьшему целому соотношению.
  3. Записать их в квадратных скобках без разделителей: [uvw].

Пример: Вектор с координатами (a, 2b, 3c) имеет индексы [123].

Семейства плоскостей и направлений

  • Семейство плоскостей {hkl} объединяет все плоскости, которые эквивалентны по симметрии кристаллической решётки. Например, в кубической системе {100} включает плоскости (100), (010), (001) и их отрицательные аналоги.
  • Семейство направлений <uvw> аналогично объединяет все эквивалентные направления в решётке.

Особенности для различных кристаллографических систем

В кубической системе индексы определяются относительно одинаковых параметров решётки a = b = c и прямых углов. Для тетрагональной, орторомбической, ромбической, триклинной, моноклинной и гексагональной систем алгоритм тот же, но необходимо учитывать различные длины векторов решётки и углы между ними.

Для гексагональной системы часто применяют четырёхиндексную систему Миллера-Бравэ (hkil), где

i = −(h + k)

Это позволяет симметрично описывать плоскости, что особенно удобно для осей с трёхкратной и шестикратной симметрией.

Применение индексов Миллера

  • Определение ориентации кристаллов в рентгеноструктурном анализе.
  • Характеризация поверхности материалов и планирование процессов тонкоплёночного осаждения.
  • Определение плоскостей скольжения и трещинообразования в механике материалов.
  • Описание морфологии кристаллов в минералогии.
Оглавление