Кинетическое уравнение Больцмана

Общее уравнение и его физический смысл

Кинетическое уравнение Больцмана является фундаментальным уравнением статистической физики неравновесных процессов. Оно описывает эволюцию функции распределения частиц f(r, p, t) в фазовом пространстве, учитывая перенос частиц в пространстве и импульсном пространстве, а также их взаимодействия.

В общем виде уравнение имеет форму:

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \mathbf{F} \cdot \nabla_{\mathbf{p}} f = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}} $$

Здесь:

  • $\mathbf{v} = \frac{\mathbf{p}}{m}$ — скорость частицы,
  • F — внешняя сила,
  • $\left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}}$ — интеграл столкновений, учитывающий изменение распределения из-за взаимодействий частиц.

Левая часть уравнения описывает дрейф частиц в фазовом пространстве (свободное движение и воздействие внешних полей), а правая часть — локальные релаксационные процессы, обусловленные столкновениями.

Интеграл столкновений

Ключевым элементом уравнения является интеграл столкновений, который для упругих бинарных столкновений имеет вид:

$$ \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}} = \int \mathrm{d}^3p_2 \int \mathrm{d}\Omega \, v_{\text{отн}} \, \sigma(\Omega) \, [f'f'_2 - f f_2] $$

где:

  • f = f(r, p, t), f2 = f(r, p2, t) — функции распределения до столкновения,
  • f′, f′2 — функции после столкновения,
  • vотн — относительная скорость частиц,
  • σ(Ω) — дифференциальное сечение рассеяния,
  • интегрирование ведётся по импульсу второй частицы и по телесному углу рассеяния.

Члены f′f′2 и ff2 описывают, соответственно, приток и отток частиц в элемент фазового объёма из-за столкновений.

Свойства уравнения Больцмана

  1. Сохранение фундаментальных величин Интеграл столкновений удовлетворяет законам сохранения:

    • числа частиц

      $$ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}} \mathrm{d}^3p = 0 $$

    • импульса

      $$ \int \mathbf{p} \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}} \mathrm{d}^3p = 0 $$

    • энергии

      $$ \int \frac{p^2}{2m} \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}} \mathrm{d}^3p = 0 $$

  2. H-теорема Больцмана Вводится функционал:

    H(t) = ∫f(r, p, t)ln f(r, p, t) d3p d3r

    который монотонно убывает во времени при выполнении условий молекулярного хаоса (dH/dt ≤ 0). Это соответствует возрастанию энтропии системы:

    S = −kBH

  3. Стационарные решения При $\left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}} = 0$ и отсутствии макроскопических потоков решение принимает вид распределения Максвелла-Больцмана:

    $$ f(\mathbf{p}) = A \exp\left( -\frac{\mathbf{p}^2}{2mk_B T} \right) $$

    где A определяется нормировкой.

Приближения и упрощённые формы

  • Приближение релаксационного времени (BGK-модель) В этой модели интеграл столкновений заменяется выражением:

    $$ \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}} \approx -\frac{f - f^{(0)}}{\tau} $$

    где f(0) — локальное равновесное распределение, τ — характерное время релаксации. Это упрощение позволяет аналитически решать задачи переноса и применяется в гидродинамических приближениях.

  • Линейное уравнение Больцмана Для малых отклонений от равновесия:

    f = f(0) + δf,  |δf| ≪ f(0)

    линейзация уравнения приводит к задаче нахождения δf и расчёта транспортных коэффициентов (вязкость, теплопроводность, электропроводность).

Связь с уравнениями гидродинамики

Моменты функции распределения по импульсу дают макроскопические переменные:

  • плотность частиц:

    n(r, t) = ∫f d3p

  • средняя скорость:

    $$ \mathbf{u}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{n} \int \mathbf{v} f \, \mathrm{d}^3p $$

  • температура:

    $$ T(\mathbf{r}, t) \propto \frac{1}{n} \int \left( \frac{p^2}{2m} - \frac{1}{2} m u^2 \right) f \, \mathrm{d}^3p $$

Подстановка этих определений в кинетическое уравнение и интегрирование по импульсному пространству приводит к уравнениям сохранения массы, импульса и энергии — уравнениям Эйлера или Навье–Стокса в зависимости от учёта вязких и теплопроводных эффектов.

Неравновесные явления и транспортные коэффициенты

Решения уравнения Больцмана позволяют вычислять:

  • коэффициент вязкости η, определяющий перенос импульса,
  • коэффициент теплопроводности κ, описывающий перенос тепла,
  • электропроводность σ в электронных газах.

Эти коэффициенты выражаются через интегралы, содержащие время релаксации и сечения столкновений, и зависят от температуры, плотности, природы взаимодействий.

Обобщения и расширения

  • Квантовое обобщение — уравнения Уленбека–Орнштейна и квантовое кинетическое уравнение, учитывающее статистику Ферми–Дирака или Бозе–Эйнштейна.
  • Неупругие процессы — добавление членов, описывающих поглощение, излучение или химические реакции.
  • Сильные поля и магнитный перенос — учёт силы Лоренца в члене F ⋅ ∇pf.
  • Нелокальные и нелинейные обобщения — учитывают корреляции между частицами на больших масштабах, что важно в плазме и турбулентных системах.
Оглавление