Критические индексы

Критические индексы — это набор безразмерных показателей, которые описывают поведение физических величин вблизи критической точки фазового перехода второго рода. Эти индексы отражают универсальные свойства системы и не зависят от её микроскопической структуры, а определяются лишь размерностью пространства, симметрией параметра порядка и характером взаимодействий.

Пусть $t = \frac{T - T_c}{T_c}$ — приведённая температура, где T_c — критическая температура, а M — параметр порядка (например, намагниченность для ферромагнетика). Вблизи критической точки поведение физических величин описывается степенными законами:

M ∼ |t|^β,  χ ∼ |t|^−γ,  C ∼ |t|^−α,  ξ ∼ |t|^−ν

где β, γ, α, ν — критические индексы.

---

Ключевые критические индексы и их физический смысл

1. Индекс α — описывает поведение теплоёмкости C вблизи T_c.

• При α > 0 теплоёмкость расходится по степенному закону.
• При α = 0 наблюдается логарифмическая расходимость.
• При α < 0 теплоёмкость остаётся конечной.

C ∝ |t|^−α

2. Индекс β — характеризует исчезновение параметра порядка при T → T_c⁻:

M ∝ (T_c − T)^β

Например, в ферромагнетике β описывает, как быстро падает намагниченность при приближении к критической температуре снизу.

3. Индекс γ — определяет расходимость изотермической восприимчивости χ:

χ ∝ |t|^−γ

Для магнитных систем это магнитная восприимчивость, для жидкостей — сжимаемость.

4. Индекс δ — описывает нелинейную зависимость параметра порядка от внешнего поля в критической точке (T = T_c):

M ∝ H^1/δ

5. Индекс ν — характеризует рост корреляционной длины ξ:

ξ ∝ |t|^−ν

Корреляционная длина определяет масштаб пространственной связи флуктуаций.

6. Индекс η — описывает аномальное затухание корреляционной функции на критической изотерме:

G(r) ∝ r^{−(d − 2 + η)}

где d — пространственная размерность системы.

---

Универсальность критических индексов

Критические индексы обладают свойством универсальности: разные физические системы, принадлежащие к одному классу универсальности, имеют одинаковые значения индексов, несмотря на различия в микроскопической структуре.

Класс универсальности определяется:

• Размерностью пространства d
• Размерностью параметра порядка (скалярный, векторный и т. д.)
• Симметрией (например, Z₂ для ферромагнетика, O(n) для моделей Хейзенберга)
• Дальнодействием взаимодействий

Пример: трёхмерный изингоподобный ферромагнетик, бинарная жидкость и модель газа-решётки могут иметь одинаковые индексы.

---

Связи между критическими индексами (скейлинговые соотношения)

Несмотря на то, что существует шесть основных критических индексов, они не являются независимыми. Между ними выполняются скейлинговые соотношения:

1. Соотношение Рашбрука:

α + 2β + γ = 2

2. Соотношение Видома:

γ = β(δ − 1)

3. Соотношение Фишера:

γ = ν(2 − η)

4. Гипотеза скейлинга для корреляционной длины:

2 − α = dν

Эти соотношения следуют из предположения о самоподобии системы вблизи критической точки и гипотезы масштабной инвариантности.

---

Методы вычисления критических индексов

1. Теория Ландау В рамках феноменологической теории Ландау (без учёта флуктуаций) критические индексы получаются как:

$$ \alpha = 0, \quad \beta = \frac12, \quad \gamma = 1, \quad \delta = 3, \quad \nu = \frac12, \quad \eta = 0 $$

Однако эти значения не согласуются с экспериментом в низких размерностях, так как теория Ландау пренебрегает критическими флуктуациями.

2. Метод ренормализационной группы (РГ) РГ-анализ позволяет учесть флуктуации на всех масштабах и вычислить индексы с высокой точностью. Например, для трёхмерной модели Изинга:

α ≈ 0.110,  β ≈ 0.326,  γ ≈ 1.237,  δ ≈ 4.80,  ν ≈ 0.630,  η ≈ 0.036

3. Численные методы

• Монте-Карло моделирование
• Серийные разложения по высокотемпературным и низкотемпературным параметрам
• Метод перенормировки в реальном пространстве

4. Экспериментальные измерения Используются точные эксперименты на жидкостях, магнитных кристаллах, сверхпроводниках, где можно измерить поведение теплоёмкости, магнитной восприимчивости и других величин при подходе к T_c.

---

Роль размерности и предельные случаи

Существует понятие верхней критической размерности d_c, выше которой флуктуации несущественны, и значения индексов совпадают с предсказаниями теории Ландау. Для модели Изинга d_c = 4.

• При d > d_c: выполняются индексы Ландау.
• При d = d_c: наблюдаются логарифмические поправки к степенным законам.
• При d < d_c: флуктуации становятся ключевыми, и индексы существенно отличаются от значений Ландау.