Историческое открытие и общая характеристика
Квантовый эффект Холла (КЭХ) — фундаментальное квантовое явление, наблюдаемое в двумерных электронных системах при низких температурах и в сильных магнитных полях. Его открытие связано с экспериментами Клауса фон Клитцинга (1980), за которые в 1985 году была присуждена Нобелевская премия. КЭХ представляет собой квантованное проявление классического эффекта Холла, при котором поперечное сопротивление проводника в магнитном поле принимает дискретные значения, строго кратные фундаментальным постоянным природы.
Классический эффект Холла и предпосылки квантования
В классическом случае, если по плоской пластине течёт ток и перпендикулярно к ней приложено магнитное поле B, на электроны действует сила Лоренца, отклоняющая их в поперечном направлении. В результате на краях пластины возникает поперечная разность потенциалов — напряжение Холла VH. Для классического эффекта Холла характерно, что холловское сопротивление RH пропорционально магнитному полю и обратно пропорционально плотности носителей заряда:
$$ R_H = \frac{B}{ne} $$
где n — концентрация электронов, e — заряд электрона.
Однако при определённых условиях (низкие температуры T ≪ 1 К, высокое магнитное поле вплоть до нескольких тесла, и двумерная электронная газовая структура, например, в полупроводниковых гетероструктурах GaAs/AlGaAs) зависимость перестаёт быть линейной: сопротивление принимает ступенчатые значения, а продольное сопротивление обращается в ноль.
Двумерная электронная система и уровни Ландау
Двумерная электронная система (2DEG) возникает, например, в гетеропереходах или на поверхности оксидных структур. При наложении сильного магнитного поля энергия электрона в плоскости движения квантуется на дискретные уровни — уровни Ландау:
$$ E_n = \hbar \omega_c \left( n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0, 1, 2, \dots $$
где $\omega_c = \frac{eB}{m^*}$ — циклотронная частота, m* — эффективная масса электрона.
Каждый уровень Ландау имеет большую вырожденность, пропорциональную магнитному потоку через образец:
$$ g = \frac{eB}{h} $$
В результате при изменении магнитного поля или плотности электронов число полностью заполненных уровней Ландау меняется дискретно.
Интегральный квантовый эффект Холла
В случае, когда число заполненных уровней Ландау ν является целым числом, наблюдается интегральный квантовый эффект Холла (ИКЭХ). Поперечное сопротивление квантуется:
$$ R_{xy} = \frac{h}{\nu e^2} $$
где h — постоянная Планка, e — элементарный заряд, ν — фактор заполнения (целое число).
При этом продольное сопротивление Rxx становится строго равным нулю, что отражает идеальную диссипационную проводимость по краевым состояниям.
Краевые состояния и топологическая природа явления
КЭХ можно описать в терминах краевых состояний, возникающих на границе двумерной системы. Магнитное поле изгибает траектории электронов так, что вблизи краёв они движутся в одном направлении, формируя одномерные каналы проводимости. Эти каналы защищены от обратного рассеяния и не подвержены локализации из-за отсутствия доступных состояний с противоположным направлением движения.
В топологическом описании ИКЭХ характеризуется целочисленным топологическим инвариантом — числом Черна, которое связано с фактором заполнения ν. Это свойство делает КЭХ чрезвычайно устойчивым к локальным возмущениям, дефектам и слабым беспорядкам.
Фракционный квантовый эффект Холла
В 1982 году Цуи, Штёрмер и Лафлин открыли фракционный квантовый эффект Холла (ФКЭХ), при котором ν принимает дробные значения, например ν = 1/3, 2/5, 3/7 и т.д. Это явление нельзя объяснить в рамках одних только уровней Ландау. ФКЭХ обусловлен сильными корреляциями между электронами, которые формируют коллективные квазичастицы с дробным зарядом и статистикой (античастицы и анионы).
Теоретическая модель Лафлина показала, что при дробных значениях ν электронная система образует сильно коррелированное состояние, минимизирующее кулоновскую энергию. Дробные заряды квазичастиц в ФКЭХ были экспериментально подтверждены с использованием шумовых измерений и интерференционных экспериментов.
Требования к эксперименту и технологические реализации
Для наблюдения КЭХ необходимы:
Наиболее часто КЭХ исследуется в полупроводниковых гетероструктурах GaAs/AlGaAs, графене и двумерных материалах типа MoS₂. Графен, благодаря своей линейной дисперсии, демонстрирует аномальный квантовый эффект Холла с полуполнением уровней Ландау и последовательностью ν = ±2, ±6, ±10, ….
Метрологоческое значение
Благодаря своей исключительной точности и устойчивости, КЭХ используется как стандарт сопротивления в метрологии. Значение h/e2 измерено с точностью до 10−9 и служит базисом для определения фундаментальных констант и реализации системы единиц СИ.