Масштабная инвариантность

Понятие масштабной инвариантности

Масштабная инвариантность в физике конденсированного состояния относится к симметрии системы относительно преобразований масштаба, при которых пространственные (и иногда временные) координаты изменяются в определённом масштабе, но поведение физических величин остаётся самоподобным. Формально, если для некоторого физического объекта или процесса наблюдается инвариантность вида

r → br, t → b^zt, ϕ(r, t) → b^−Δϕ(br, b^zt),

где b — положительный коэффициент масштабирования, z — динамический критический показатель, а Δ — критическое измерение поля, то такая система называется масштабно-инвариантной.

В теории фазовых переходов второго рода масштабная инвариантность проявляется вблизи критической точки, когда корреляционная длина ξ становится много больше микроскопических масштабов, и система теряет характерный масштаб длины.

Масштабная инвариантность и критические явления

Вблизи критической температуры T_c корреляционная длина

ξ ∼ |T − T_c|^−ν

стремится к бесконечности. Это означает, что флуктуации присутствуют на всех масштабах, и система демонстрирует самоподобную структуру.

Критические показатели, такие как α, β, γ, ν, η, z, описывают, как физические величины (теплоёмкость, намагниченность, восприимчивость и др.) изменяются при приближении к критической точке. Масштабная инвариантность предполагает существование степенных законов вида:

M ∼ |T − T_c|^β, χ ∼ |T − T_c|^−γ, C ∼ |T − T_c|^−α.

Эти законы отражают отсутствие характерного масштаба — система одинаково выглядит при увеличении или уменьшении масштаба наблюдения.

Группы ренормализации и масштабные преобразования

Понимание масштабной инвариантности стало возможным благодаря методу группы ренормализации (ГР). Основная идея ГР заключается в последовательном «укрупнении» системы:

Интегрирование по быстрым степеням свободы (коротковолновым модам поля).
Масштабирование координат для восстановления исходного диапазона длин.
Перенормировка параметров гамильтониана или функционала свободной энергии.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока параметры системы не достигнут фиксированной точки (fixed point) преобразований. Вблизи фиксированной точки гамильтониан описывает масштабно-инвариантную систему.

Например, для модели Изинга вблизи критической точки фиксированная точка соответствует универсальным критическим показателям, одинаковым для широкого класса систем, независимо от микроскопических деталей.

Фракталы и самоподобие

Масштабная инвариантность тесно связана с понятием фракталов. Фрактальная структура обладает свойством самоподобия — её части при увеличении масштаба выглядят подобно целому объекту. В критических системах корреляционная функция

$$ G(r) \sim \frac{1}{r^{d-2+\eta}} $$

демонстрирует степенное убывание, что соответствует фрактальному характеру флуктуаций порядка.

Критические кластеры (например, в перколяции) имеют фрактальное измерение, меньшее топологического измерения пространства, но сохраняют одинаковую статистическую структуру на всех масштабах.

Масштабная инвариантность в динамических процессах

В ряде физических явлений важна не только пространственная, но и временная масштабная инвариантность. В этом случае вводится динамический показатель z, связывающий масштабирование времени и длины:

t → b^zt.

Например, в динамике релаксации спиновых систем или при росте доменных структур характерное время процесса τ связано с корреляционной длиной степенным соотношением

τ ∼ ξ^z.

В гидродинамике турбулентность в инерциальном диапазоне также подчиняется масштабной инвариантности, что приводит к законам Колмогорова для распределения энергии по масштабам.

Нарушение масштабной инвариантности

Хотя масштабная инвариантность является ключевой особенностью критических состояний, она может нарушаться:

Вдали от критической точки — появление конечной корреляционной длины вводит характерный масштаб.
При наличии внешних полей или дефектов, задающих специфический масштаб.
При квантовых эффектах — квантовая масштабная инвариантность может быть нарушена аномальными размерностями (квантовыми поправками).

В некоторых случаях нарушение носит мягкий характер и проявляется как аномальная масштабная инвариантность, при которой законы остаются степенными, но показатели масштабирования изменяются.

Универсальность и масштабная инвариантность

Главное следствие масштабной инвариантности — универсальность критического поведения. Системы, имеющие одинаковые размерность пространства d, симметрию параметра порядка и тип взаимодействий, принадлежат к одному классу универсальности и имеют одинаковые критические показатели, даже если их микроскопическая физика различна.

Это объясняет, почему ферромагнетик, смесь жидкость–газ и модель перколяции могут демонстрировать схожие законы вблизи критической точки — масштабная инвариантность делает поведение нечувствительным к микроскопическим деталям.