Микроскопическая теория БКШ

Основные предпосылки и физическая мотивация

К началу 1950-х годов макроскопическая феноменология сверхпроводимости, представленная теорией Гинзбурга–Ландау, и экспериментальные открытия, такие как эффект Мейсснера, установили ряд фундаментальных свойств сверхпроводников. Однако микроскопическая природа этого состояния оставалась неясной. Основным вызовом было объяснение: каким образом электроны, испытывающие кулоновское отталкивание, могут образовывать связанное состояние, ответственное за исчезновение электрического сопротивления и идеальный диамагнетизм.

Работа Джона Бардина, Леона Купера и Джона Шриффера (1957 г.) показала, что взаимодействие электронов с фононным полем кристаллической решётки приводит к возникновению эффективного притяжения между электронами с противоположными импульсами и спинами вблизи поверхности Ферми. Это притяжение, даже если оно сколь угодно мало по величине, приводит к образованию куперовских пар и формированию когерентного квантового состояния, которое минимизирует энергию системы.

Образование куперовских пар

Купер показал, что в присутствии слабого притяжения двухэлектронное состояние вблизи поверхности Ферми становится энергетически выгодным. Если обозначить импульсы электронов как k и –k, а спины как ↑ и ↓, то при наличии слабого эффективного взаимодействия (например, опосредованного фононами) возможна устойчивость пары с полной энергией ниже уровня Ферми.

Особенности куперовской пары:

Синглетное спиновое состояние: суммарный спин равен нулю (антипараллельные спины), что делает волновую функцию антисимметричной по спинам.
Орбитальное состояние с s-симметрией: волновая функция симметрична по координатам, максимум вероятности нахождения электронов — при близких координатах.
Размер куперовской пары значительно превышает межатомное расстояние (~100–1000 Å), что позволяет парам перекрываться и образовывать коллективное когерентное состояние.

Гамильтониан БКШ

Для описания микроскопической картины вводится эффективный гамильтониан:

Ĥ = ∑_k, σξ_kc_kσ^†c_kσ − ∑_k, k′V_kk′c_k↑^†c_−k↓^†c_−k′↓c_k′↑

где

ξ_k = ε_k − μ — энергия электрона относительно уровня Ферми,
V_kk′ — эффективное притяжение (обычно принимается постоянным V в узкой области около поверхности Ферми шириной ℏω_D, где ω_D — дебаевская частота).

Анзац волновой функции БКШ

Шриффер предложил форму основного состояния:

|Ψ_BCS⟩ = ∏_k(u_k + v_kc_k↑^†c_−k↓^†)|0⟩

Параметры u_k и v_k определяются условием нормировки:

u_k² + v_k² = 1

Интерпретация: в основном состоянии вероятность того, что пара с импульсом k занята, равна v_k², а вероятность того, что она пуста, — u_k².

Уравнение самосогласованности и энергетическая щель

Минимизация энергии основного состояния по параметрам u_k и v_k приводит к уравнению для щели в спектре квазичастиц Δ_k:

$$ \Delta_{\mathbf{k}} = - \sum_{\mathbf{k}'} V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'} \frac{\Delta_{\mathbf{k}'}}{2 E_{\mathbf{k}'}} $$

где

$$ E_{\mathbf{k}} = \sqrt{\xi_{\mathbf{k}}^2 + \Delta_{\mathbf{k}}^2} $$

— энергия возбуждения квазичастицы.

Для изотропного взаимодействия V_kk′ = −V в области |ξ_k|, |ξ_k′| ≤ ℏω_D решение имеет вид:

Δ(0) ≈ 2ℏω_De^−1/N(0)V

где N(0) — плотность состояний на поверхности Ферми.

Температурная зависимость щели и критическая температура

При T ≠ 0 уравнение самосогласованности принимает вид:

$$ 1 = V \sum_{\mathbf{k}} \frac{1 - 2 f(E_{\mathbf{k}})}{2 E_{\mathbf{k}}} $$

где f(E) — распределение Ферми–Дирака. Решение даёт критическую температуру:

k_BT_c ≈ 1.14ℏω_De^−1/N(0)V

и соотношение между щелью при T = 0 и T_c:

$$ \frac{\Delta(0)}{k_B T_c} \approx 1.76 $$

Квазичастицы и возбуждения

В БКШ-теории элементарными возбуждениями являются квазичастицы Боголюбова, представляющие собой суперпозицию электронов и дырок. Их операторы вводятся преобразованием Боголюбова:

γ_k↑ = u_kc_k↑ − v_kc_−k↓^†

γ_−k↓^† = v_kc_k↑ + u_kc_−k↓^†

Такое преобразование диагонализует гамильтониан и демонстрирует наличие энергетической щели Δ в спектре возбуждений.

Коллективная когерентность и макроскопические эффекты

БКШ-теория объясняет не только отсутствие сопротивления, но и явления:

Эффект Мейсснера: когерентное состояние куперовских пар ведёт к выталкиванию магнитного поля, что описывается как реакция суперплотности на векторный потенциал.
Квантование магнитного потока: поток в сверхпроводящем кольце квантуется в единицах h/2e, что отражает заряд куперовской пары 2e.
Джозефсоновский эффект: туннелирование куперовских пар через слабую связь сопровождается появлением постоянного и переменного токов без приложенного напряжения.

Слабые и сильные стороны БКШ-теории

Теория БКШ прекрасно описывает низкотемпературные сверхпроводники с s-волновой симметрией щели и согласуется с подавляющим большинством экспериментов: теплоёмкостью, туннельной спектроскопией, ИК- и СВЧ-поглощением. Однако она применима только при условии:

Электрон-фононный механизм спаривания доминирует.
Энергетическая щель изотропна.

В случае высокотемпературных сверхпроводников, где наблюдается d-волновая симметрия и, вероятно, иной механизм спаривания, требуется обобщение или иная теория.