Минимальная металлическая проводимость

Понятие минимальной металлической проводимости

В системах с беспорядком, когда среднее свободное пробег электрона становится сравнимым с длиной его волны, традиционная картина проводимости в рамках классической модели Друде перестаёт быть применимой. При дальнейшем увеличении беспорядка материал может переходить в состояние локализации носителей заряда, что ведёт к исчезновению проводимости при нулевой температуре. Однако ещё до наступления полной локализации в системе наблюдается феномен минимальной металлической проводимости — нижней границы величины проводимости, ниже которой материал перестаёт вести себя как металл.

Концепция минимальной металлической проводимости была сформулирована Н. Моттом в контексте перехода металл–диэлектрик в системах с сильным беспорядком. Мотт показал, что в трёхмерных системах существует критическое значение проводимости

$$ \sigma_{\text{min}} \approx \frac{e^2}{\hbar a}, $$

где a — характерный межатомный или межузельный масштаб (порядка постоянной решётки), e — заряд электрона, ℏ — редуцированная постоянная Планка.

Физическая основа и критерий Иоффе–Регеля

Одним из ключевых понятий при рассмотрении минимальной проводимости является критерий Иоффе–Регеля, который утверждает, что металл перестаёт существовать как таковой, когда средний свободный пробег l электрона становится сравнимым с длиной его волны де Бройля λF (фазовой длиной на уровне Ферми):

kFl ∼ 1,

где kF — волновой вектор на поверхности Ферми.

В рамках модели Друде проводимость определяется как:

$$ \sigma = \frac{n e^2 \tau}{m}, $$

где n — концентрация электронов, m — эффективная масса, τ — время релаксации. Свободный пробег l = vFτ связан со временем релаксации через скорость Ферми vF. При l → λF увеличение беспорядка уже не может дальше уменьшать пробег без качественного изменения состояния электронов. Это и есть момент, когда система достигает минимальной металлической проводимости.

Значение Мотта и размерность системы

Для трёхмерных систем Мотт предложил оценку:

$$ \sigma_{\text{min}} \approx 0.026 \ \frac{e^2}{\hbar a}. $$

Фактическое значение может варьироваться в зависимости от конкретного материала и природы беспорядка, однако порядок величины остаётся одинаковым.

В двумерных и одномерных системах ситуация принципиально иная. Согласно теории локализации Андерсона, в 1D и 2D при сколь угодно слабом беспорядке происходит полная локализация электронов при T → 0, и «настоящая» минимальная металлическая проводимость в строгом смысле отсутствует. Тем не менее, при конечных температурах или в системах с сильными электрон-электронными корреляциями возможно существование аналогичных порогов проводимости, обусловленных квантовыми поправками и эффектами рассеяния.

Связь с локализацией Андерсона

Вблизи порога минимальной металлической проводимости начинает доминировать квантовое интерференционное рассеяние, приводящее к сильной локализации Андерсона. Электрон перестаёт рассматриваться как квазичастица с классическим пробегом, а описание требует учёта когерентного переноса. При этом характер затухания волновой функции меняется с экспоненциального в локализованной фазе до степенного в металле.

Вблизи критической точки перехода металл–диэлектрик проводимость подчиняется степенному закону:

σ ∝ (n − nc)μ,

где nc — критическая концентрация носителей, μ — критический показатель (обычно порядка 1). Минимальная металлическая проводимость в этой картине соответствует значению σ при n → nc+.

Экспериментальные проявления

Экспериментально минимальная металлическая проводимость наблюдается в системах, таких как:

  • сильно легированные полупроводники (Si:P, Ge:As) при низких температурах;
  • сплавы с высоким уровнем беспорядка;
  • аморфные металлы и металлические стёкла;
  • оксидные проводники (например, In2O3 с кислородными вакансиями).

В экспериментах часто определяется порог по температурной зависимости проводимости: в металлической фазе σ(T) имеет слабую зависимость от T при низких температурах, тогда как в локализованной фазе она убывает экспоненциально, как в законе Мотта для переменного диапазона прыжков:

$$ \sigma(T) \propto \exp\left[ -\left( \frac{T_0}{T} \right)^{1/(d+1)} \right], $$

где d — размерность системы.

Теоретические подходы к описанию

Для описания минимальной металлической проводимости применяются:

  • Диаграммные методы теории слабой локализации, учитывающие когерентное обратное рассеяние;
  • Методы перенормировочной группы (scaling theory), связывающие проводимость с масштабом наблюдения через уравнения:

$$ \frac{d \ln g}{d \ln L} = \beta(g), $$

где g — безразмерная проводимость, L — характерный размер системы;

  • Модель Мотта критической плотности носителей, в которой порог определяется условием nc1/3aB ≈ 0.25, где aB — эффективный боровский радиус в материале.

Практическое значение

Минимальная металлическая проводимость определяет технологические ограничения в микро- и наноэлектронике, особенно при создании проводящих каналов в тонких плёнках, нанопроволоках и двумерных материалах. При приближении к этой границе возможны резкие изменения свойств — от металлических к диэлектрическим — что используется для переключаемых резистивных элементов и сенсоров.

Оглавление