Модель Андерсона

Модель Андерсона была предложена Филипом Андерсоном в 1958 году для описания влияния беспорядка на электронные состояния в твердых телах. Она рассматривает электрон в кристалле, где случайные флуктуации потенциала на атомных узлах приводят к изменению локальных энергетических уровней. Основная цель модели — показать, что при достаточно сильном беспорядке электронные волновые функции могут стать локализованными, что приводит к подавлению диффузии и переходу системы в изолирующее состояние даже при отсутствии кулоновских взаимодействий.

В отличие от идеального периодического потенциала, который описывается моделью Блоха, в модели Андерсона учитывается отсутствие строгой периодичности, что делает невозможным полное описание состояний через квазимомент. В результате в системе могут возникать состояния, простирающиеся на конечное расстояние — так называемая андерсоновская локализация.

Гамильтониан модели

В простейшей одномерной или многомерной решеточной постановке гамильтониан записывается как

Ĥ = ∑iεi ci†ci − t∑⟨i, j⟩(ci†cj + cj†ci)

где:

  • εi — случайная энергия на узле i, обычно предполагаемая независимой случайной величиной с равномерным или гауссовским распределением в интервале [−W/2, W/2];
  • t — интеграл переноса (hopping integral), характеризующий вероятность перехода электрона между соседними узлами;
  • ci†, ci — операторы рождения и уничтожения электрона на узле i;
  • ⟨i, j⟩ — суммирование по парам ближайших соседей.

Параметр беспорядка W играет ключевую роль: малые значения соответствуют почти периодическому потенциалу, большие — сильному разбросу локальных уровней.

Физический смысл параметров

  • Случайные энергии εi моделируют эффект примесей, дефектов или флуктуаций состава сплава. Они определяют, насколько неоднороден кристалл.
  • Интеграл переноса t характеризует степень перекрытия волновых функций соседних узлов и отвечает за делокализацию электронов.
  • Отношение W/t служит критерием перехода от металлического к изолирующему состоянию.

Механизм андерсоновской локализации

Идея локализации заключается в том, что сильный беспорядок вызывает множественные рассеяния электронных волн, приводящие к интерференции. При определённых условиях интерференция носит деструктивный характер, что подавляет распространение волнового пакета.

В квантовом описании волновая функция электрона в случае локализации имеет экспоненциальный спад:

ψ(r) ∼ e−r/ξ

где ξ — длина локализации. При ξ ≪ L (размер системы) электрон эффективно «заперт» в области пространства, и вклад в проводимость исчезает при T → 0.

Критическая сила беспорядка и переход металл–изолятор

В одномерных и двумерных системах теория предсказывает, что все состояния становятся локализованными при любом ненулевом беспорядке. Однако в трёхмерных системах существует критическое значение Wc, выше которого волновые функции становятся локализованными.

Приближение самосогласованного теоретико-полевого описания или численные расчёты (метод передачи, диагонализация больших матриц) позволяют оценить Wc/t и критическое поведение проводимости.

Плотность состояний и функция Лифшица

В модели Андерсона плотность состояний (DOS)

$$ \rho(E) = \frac{1}{N} \sum_n \delta(E - E_n) $$

обычно не исчезает при переходе металл–изолятор. Однако существует подвижная граница (Ec) — энергия, отделяющая локализованные и делокализованные состояния. Это явление известно как мобилити-эдж (mobility edge).

Вблизи краёв спектра может наблюдаться экспоненциальное уменьшение DOS — хвосты Лифшица, связанные с редкими флуктуациями потенциала, создающими глубокие локализованные состояния.

Связь с экспериментом

Модель Андерсона объясняет ряд явлений в полупроводниках, сплавах и аморфных веществах:

  • подавление низкотемпературной проводимости;
  • сильная зависимость от концентрации примесей;
  • переход металл–изолятор в сильно легированных кристаллах.

Экспериментально локализация выявляется по температурной зависимости проводимости: в локализованной фазе она описывается законом Мотта или Эфроса–Шкловского:

$$ \sigma(T) \propto \exp\left[-\left(\frac{T_0}{T}\right)^\alpha\right] $$

где α = 1/4 (закон Мотта) или α = 1/2 (с учётом кулоновской щели).

Расширения модели

  1. Модель Андерсона–Хаббарда — учитывает кулоновское взаимодействие электронов, что приводит к конкуренции локализации и корреляционных эффектов.
  2. Недиагональный беспорядок — случайность в величинах tij, моделирующая флуктуации перекрытия.
  3. Многочастичная локализация (MBL) — обобщение на взаимодействующие многочастичные системы, где локализация возможна даже при конечной температуре.
Оглавление