Основные предпосылки и физический смысл модели Дебая
Модель Дебая была предложена в 1912 году Петером Дебаем как развитие идей Эйнштейна о колебаниях атомов в кристалле. Целью модели является описание теплоёмкости твёрдых тел при низких температурах с учётом коллективного характера колебаний и непрерывного спектра частот. В отличие от модели Эйнштейна, которая предполагает одинаковую частоту колебаний всех атомов, модель Дебая вводит спектр частот, ограниченный некоторой максимальной — дебаевской частотой.
Ключевая идея заключается в рассмотрении кристаллической решётки как упругой сплошной среды, в которой распространяются упругие волны — фононы, играющие роль квазичастиц. При этом энергия этих волн квантуется, что позволяет объединить законы квантовой статистики с теорией упругости.
Распределение частот и дебаевская аппроксимация
Для трёхмерного кристалла с N атомами спектр колебаний ограничен максимальной волновой числом kmax, определяемым условием, что общее число нормальных мод колебаний равно 3N (по одной продольной и двум поперечным модам для каждого атома).
Число мод с волновыми числами, меньшими k, определяется формулой:
$$ n(k) = \frac{V}{6\pi^2} k^3 $$
где V — объём кристалла.
В модели Дебая предполагается линейная дисперсия:
ω = vsk
где vs — эффективная средняя скорость звука в кристалле.
Максимальная частота ωD определяется условием:
$$ 3N = \frac{V}{6\pi^2} k_D^3 \cdot 3 $$
откуда:
$$ k_D = \left(6\pi^2 \frac{N}{V}\right)^{1/3}, \quad \omega_D = v_s k_D $$
Дебаевская температура
Введём дебаевскую температуру:
$$ \Theta_D = \frac{\hbar \omega_D}{k_B} $$
Этот параметр определяет границу между квантовым и классическим режимами теплового движения решётки.
Плотность фононных состояний в модели Дебая
Плотность мод на единицу частоты получается из условия:
$$ g(\omega) \, d\omega = \frac{V \omega^2}{2\pi^2 v_s^3} \, d\omega $$
при 0 ≤ ω ≤ ωD.
Такое распределение учитывает, что число мод растёт пропорционально квадрату частоты в трёхмерном пространстве. Ограничение сверху ωD гарантирует, что число мод совпадает с 3N.
Энергия фононного газа
Энергия всех фононных мод с учётом квантовой статистики Бозе–Эйнштейна:
$$ U = \int_0^{\omega_D} \hbar \omega \, \frac{1}{e^{\hbar\omega/k_B T} - 1} \, g(\omega) \, d\omega $$
Подставляя g(ω), получаем:
$$ U = \frac{9N \hbar}{\omega_D^3} \int_0^{\omega_D} \frac{\omega^3}{e^{\hbar\omega/k_B T} - 1} \, d\omega $$
После замены переменной $x = \frac{\hbar\omega}{k_B T}$:
$$ U = 9Nk_B T \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^3}{e^x - 1} \, dx $$
Теплоёмкость при постоянном объёме
Дифференцируя по температуре:
$$ C_V = \frac{\partial U}{\partial T} = 9Nk_B \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2} \, dx $$
Асимптотические пределы
$$ \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2} dx \approx \frac{\Theta_D}{T} \to \text{константа} $$
Получаем:
CV → 3NkB
— классический предел (закон Дюлонга–Пти).
$$ \int_0^\infty \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2} dx = \frac{4\pi^4}{15} $$
Отсюда:
$$ C_V \approx \frac{12\pi^4}{5} Nk_B \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 $$
— кубический закон Дебая.
Физическая интерпретация
Преимущества и ограничения модели Дебая
Преимущества:
Ограничения: