Модель Эйнштейна

Предпосылки введения модели

В начале XX века стало очевидно, что классическая теория теплоёмкости, основанная на законе Дюлонга — Пти, не способна описывать наблюдаемое поведение твёрдых тел при низких температурах. Экспериментальные данные показывали, что при T ≪ Θ (где Θ — характерная температура кристалла) теплоёмкость резко уменьшается и стремится к нулю, что противоречит предсказаниям классической статистики. Для объяснения этого эффекта А. Эйнштейн в 1907 году предложил квантовую модель колебаний атомов в кристаллической решётке.

Основные предположения модели Эйнштейна

  1. Атомы как гармонические осцилляторы Каждый атом рассматривается как квантовый гармонический осциллятор, совершающий колебания относительно положения равновесия. При этом предполагается, что осцилляторы независимы и не взаимодействуют друг с другом напрямую.

  2. Одинаковая частота колебаний Все атомы колеблются с одной и той же собственной частотой ν, не зависящей от направления и от температуры. Это упрощение позволяет получить аналитические выражения для теплоёмкости.

  3. Квантование энергии Энергия отдельного осциллятора дискретна и принимает значения

    $$ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) h\nu, \quad n = 0, 1, 2, \dots $$

    где h — постоянная Планка, ν — частота колебаний.

  4. Использование статистики Больцмана Вероятность нахождения осциллятора в состоянии с энергией En задаётся распределением Больцмана.

Вычисление средней энергии осциллятора

Для одного квантового гармонического осциллятора средняя энергия находится как

$$ \langle E \rangle = \frac{\sum\limits_{n=0}^\infty E_n e^{-E_n/k_BT}}{\sum\limits_{n=0}^\infty e^{-E_n/k_BT}} $$

Подставляя En и вычисляя ряды, получаем:

$$ \langle E \rangle = \frac{h\nu}{2} + \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT} - 1} $$

Первое слагаемое соответствует нулевой энергии колебаний (не исчезающей даже при T = 0), второе — тепловому вкладу.

Энергия решётки

Если в кристалле содержится N атомов, каждый из которых колеблется в трёх взаимно перпендикулярных направлениях, то полное число осцилляторов равно 3N. Полная энергия колебаний решётки:

$$ U = 3N \left[ \frac{h\nu}{2} + \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT} - 1} \right] $$

Теплоёмкость при постоянном объёме

Определение:

$$ C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $$

Вычисляя производную, получаем формулу Эйнштейна:

$$ C_V = 3Nk_B \left( \frac{\Theta_E}{T} \right)^2 \frac{e^{\Theta_E/T}}{\left(e^{\Theta_E/T} - 1\right)^2} $$

где

$$ \Theta_E = \frac{h\nu}{k_B} $$

— температура Эйнштейна.

Асимптотическое поведение

  1. Высокотемпературный предел (T ≫ ΘE) При T → ∞ экспонента раскладывается, и получаем:

    CV → 3NkB

    что соответствует закону Дюлонга — Пти.

  2. Низкотемпературный предел (T ≪ ΘE) При T → 0:

    $$ C_V \approx 3Nk_B \left( \frac{\Theta_E}{T} \right)^2 e^{-\Theta_E/T} $$

    Теплоёмкость падает экспоненциально, что качественно совпадает с экспериментом, но не отражает точного кубического закона (CV ∝ T3), наблюдаемого при очень низких температурах.

Достоинства модели Эйнштейна

  • Впервые введено квантование колебательных степеней свободы кристалла, что позволило объяснить отклонение теплоёмкости от постоянного значения при низких T.
  • Простота математического описания.
  • Успешное согласие с экспериментальными данными в области температур порядка ΘE и выше.

Ограничения модели

  • Игнорируется распределение частот колебаний: в реальных кристаллах спектр фононов непрерывен, а не состоит из одной частоты.
  • Модель плохо описывает поведение при очень низких температурах (T ≪ ΘE), где наблюдается кубический закон зависимости теплоёмкости от температуры (закон Дебая).
  • Отсутствие учёта взаимодействия осцилляторов и анизотропии решётки.

Физический смысл температуры Эйнштейна

Температура Эйнштейна ΘE характеризует энергию кванта колебаний атомов в решётке. При T ≫ ΘE тепловая энергия превышает квант колебаний, и система ведёт себя классически. При T ≪ ΘE квантовые эффекты становятся доминирующими, что приводит к экспоненциальному подавлению теплоёмкости.

Оглавление