Модель Гейзенберга является одной из фундаментальных теоретических конструкций квантовой теории магнетизма, описывающей взаимодействие спинов локализованных электронов в кристаллической решётке. В основе лежит представление о том, что спиновые магнитные моменты взаимодействуют между собой посредством обменного взаимодействия, возникающего как следствие квантовомеханического тождественного характера электронов и принципа Паули.
Ключевой физический механизм связан с тем, что волновая функция системы фермионов должна быть антисимметричной относительно перестановки частиц. Это накладывает корреляции между спиновыми и пространственными координатами электронов, что и приводит к возникновению эффективного спин-спинового взаимодействия.
Общая форма гамильтониана для системы спинов в модели Гейзенберга выражается как:
$$ \hat{H} = -\sum_{i \neq j} J_{ij} \, \hat{\mathbf{S}}_i \cdot \hat{\mathbf{S}}_j $$
где:
$\hat{\mathbf{S}}_i$ — оператор спина на узле i,
Jij — интеграл обменного взаимодействия между спинами на узлах i и j,
знак Jij определяет характер взаимодействия:
Обычно предполагается взаимодействие только между ближайшими соседями, что значительно упрощает модель:
$$ \hat{H} = - J \sum_{\langle i,j \rangle} \hat{\mathbf{S}}_i \cdot \hat{\mathbf{S}}_j $$
где суммирование ведётся по всем парам ближайших соседей.
Операторы спина удовлетворяют коммутаторным соотношениям:
[Ŝiα, Ŝjβ] = iℏδij εαβγŜiγ
где εαβγ — символ Леви-Чивиты, а α, β, γ принимают значения x, y, z.
Скаларное произведение операторов можно записать через проекции:
$$ \hat{\mathbf{S}}_i \cdot \hat{\mathbf{S}}_j = \hat{S}^x_i \hat{S}^x_j + \hat{S}^y_i \hat{S}^y_j + \hat{S}^z_i \hat{S}^z_j $$
Модель Гейзенберга обладает полной SU(2)-спиновой симметрией — гамильтониан инвариантен относительно одновременного вращения всех спинов в пространстве. Это означает, что энергия системы зависит только от относительных ориентаций спинов, но не от их общей ориентации в пространстве.
В случае, если обменное взаимодействие анизотропно, гамильтониан может быть модифицирован до анизотропной модели Гейзенберга:
Ĥ = −∑⟨i, j⟩[JxŜixŜjx + JyŜiyŜjy + JzŜizŜjz]
При Jx = Jy ≠ Jz модель сводится к модели XXZ, а при Jx = Jy, Jz = 0 — к модели XY.
Ферромагнитный случай (J > 0): энергия минимальна, когда все спины ориентированы параллельно, что соответствует наибольшему возможному значению полного спина системы Stot. Основное состояние является сильно вырожденным относительно направления намагниченности.
Антиферромагнитный случай (J < 0): энергия минимальна, когда соседние спины направлены антипараллельно. Для одномерных и двумерных систем квантовые флуктуации сильно подавляют магнитный порядок при низких температурах, особенно для спинов $S = \frac12$.
Одномерная изотропная модель для спинов $S = \frac12$ является интегрируемой и была решена методом Бете (1931) с использованием ансатца Бете. Основное состояние в антиферромагнитном случае не имеет дальнего магнитного порядка, но обладает степенным спадом корреляций.
В ферромагнитном случае одномерная система проявляет полную поляризацию спинов даже при нулевой температуре, что отражает различие в квантовых флуктуациях для J > 0 и J < 0.
Элементарные возбуждения в ферромагнитной модели Гейзенберга — это магноны, квазичастицы, описывающие коллективные колебания спиновой системы. Их спектр для ферромагнитного случая имеет вид:
ε(k) = 2JSz(1 − γk)
где z — число ближайших соседей, а γk — фактор, зависящий от геометрии решётки. Для малых k спектр квадратичен:
ε(k) ≈ Dk2
где D — коэффициент жесткости спиновой системы.
В антиферромагнитном случае спектр магнонов линейный при малых k, что отражает наличие голдстоуновских мод, связанных с нарушением спиновой симметрии.
$$ \hat{H} = - J \sum_{\langle i,j \rangle} \hat{\mathbf{S}}_i \cdot \hat{\mathbf{S}}_j - g \mu_B \sum_i \mathbf{H} \cdot \hat{\mathbf{S}}_i $$