Модель Изинга

Основные предположения и физическая постановка задачи

Модель Изинга представляет собой дискретную модель статистической механики, разработанную для описания фазовых переходов в системах с взаимодействующими спинами. Она применяется для исследования упорядочения магнитных моментов в кристаллических твердых телах, а также используется в широком спектре задач, выходящих за пределы магнетизма — от биофизики до социодинамики.

Рассматривается система из N локализованных магнитных моментов (спинов), расположенных в узлах кристаллической решётки. Каждый спин s_i может принимать два значения:

s_i = +1  или  s_i = −1

что соответствует ориентации магнитного момента вдоль или против выбранного направления квантования.

Гамильтониан модели

В общем виде гамильтониан модели Изинга записывается как:

H = −J∑_⟨i, j⟩s_is_j − μh∑_is_i

где:

• J — константа обменного взаимодействия между ближайшими соседями;
• ⟨i, j⟩ означает суммирование по парам ближайших соседей;
• μ — магнитный момент одного спина;
• h — внешнее магнитное поле.

При J > 0 взаимодействие ферромагнитное, то есть система стремится к параллельной ориентации спинов. При J < 0 взаимодействие антиферромагнитное, и спины соседей предпочитают быть направленными в противоположные стороны.

Роль размерности решётки

Свойства модели Изинга существенно зависят от размерности системы:

• 1D — для одномерной модели Изинга с конечным J и ненулевой температурой T не существует фазового перехода второго рода. Система не проявляет долгопробежного магнитного порядка при T > 0.
• 2D — в двумерном случае при h = 0 модель допускает точное аналитическое решение (решение Ларса Онсагера, 1944 г.), демонстрирующее наличие фазового перехода при конечной температуре T_c.
• 3D — трёхмерная модель не имеет точного аналитического решения, но изучается методами Монте-Карло, ренормализационной группы и численных симуляций.

Статистическая сумма и распределение Гиббса

В рамках канонического ансамбля полное статистическое описание системы даётся распределением Гиббса:

$$ P(\{s_i\}) = \frac{1}{Z} e^{-\beta H(\{s_i\})} $$

где $\beta = \frac{1}{k_B T}$, а статистическая сумма:

Z = ∑_{si}e^{−βH({s_i})}

Суммирование производится по всем 2^N конфигурациям спинов.

Параметр порядка

В модели Изинга естественным параметром порядка является средняя намагниченность на спин:

$$ m = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \langle s_i \rangle $$

В ферромагнитной фазе (T < T_c) при h → 0 величина m остаётся отличной от нуля. В парамагнитной фазе (T > T_c) намагниченность обнуляется.

Фазовый переход и критические показатели

Для двумерной модели Изинга критическая температура при h = 0 выражается формулой Онсагера:

$$ k_B T_c = \frac{2J}{\ln(1+\sqrt{2})} $$

Вблизи T_c наблюдаются степенные законы:

• намагниченность: m ∼ (T_c − T)^β_m, где β_m = 1/8;
• теплоёмкость: C ∼ |T − T_c|^−α, где α = 0 (логарифмическая расходимость);
• магнитная восприимчивость: χ ∼ |T − T_c|^−γ, где γ = 7/4.

Методы исследования

1. Аналитические методы — в 1D и 2D возможны точные решения при h = 0; при ненулевом поле даже в 2D точное решение неизвестно.
2. Методы Монте-Карло — симуляции конфигураций спинов с использованием алгоритмов Метрополиса или кластера Вольфа.
3. Ренормализационная группа — даёт аналитическое понимание универсальных свойств вблизи критической точки.
4. Матричные методы переноса — особенно эффективны в 1D и 2D моделях.

Модификации модели

Существует ряд обобщений модели Изинга:

• Анизотропная модель — разные значения J в различных направлениях решётки.
• Модель Изинга с дальнодействующими взаимодействиями — добавляются связи между удалёнными спинами.
• Модель Изинга в случайном поле — учитывает неоднородное распределение локальных магнитных полей.
• q-состояния (модель Поттса) — обобщение на большее число допустимых значений спина.

Физический смысл и применимость

Хотя модель Изинга была первоначально создана для описания ферромагнетизма, она стала универсальным инструментом для изучения коллективного поведения в системах с двумя дискретными состояниями, включая:

• фазовые переходы в адсорбционных системах;
• модели роста кристаллов;
• биологические системы (например, свёртывание белков);
• социальные модели (распространение информации).