Модель свободных электронов представляет собой упрощённое приближение для описания электронных свойств металлов. В её основе лежит предположение, что электроны проводимости можно рассматривать как невзаимодействующую газовую систему, движущуюся в потенциале, создаваемом положительными ионами кристаллической решётки. При этом периодический потенциал ионов заменяется на усреднённый фон — так называемое приближение желе (jellium model), где распределение положительного заряда равномерно заполняет объём металла.
Главная цель этой модели — объяснить электрическую, тепловую и оптическую проводимость металлов, используя минимальное число предположений и математических сложностей.
Отсутствие взаимодействия электронов друг с другом Электроны проводимости рассматриваются как независимые частицы, взаимодействие которых с ионами и другими электронами пренебрежимо мало (за исключением учёта принципа Паули).
Потенциал решётки заменён на постоянный Периодическая структура ионного потенциала не рассматривается. Это позволяет использовать решения для свободной частицы в ящике с объёмом V.
Принцип Паули и статистика Ферми–Дирака Поскольку электроны — фермионы с полуцелым спином ($s = \frac12$), они подчиняются принципу запрета Паули, что приводит к заполнению энергетических уровней в соответствии с распределением Ферми–Дирака.
В рамках этой модели гамильтониан электрона в объёме V имеет вид:
$$ \hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} $$
где $\hat{\mathbf{p}}$ — оператор импульса, m — масса электрона.
Граничные условия (обычно периодические условия Борна–Карманна) обеспечивают дискретность волновых векторов:
$$ k_x = \frac{2\pi n_x}{L_x}, \quad k_y = \frac{2\pi n_y}{L_y}, \quad k_z = \frac{2\pi n_z}{L_z} $$
где nx, ny, nz ∈ ℤ, а Lx, Ly, Lz — размеры кристалла.
Энергия свободного электрона:
$$ E(\mathbf{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$
где k = |k| — модуль волнового вектора.
В трёхмерном случае число состояний в пространстве волновых векторов, заключённых внутри сферы радиуса k, с учётом двух состояний спина:
$$ N(k) = \frac{V}{3\pi^2}k^3 $$
Дифференцируя, получаем плотность состояний по k:
$$ g(k) = \frac{V}{\pi^2} k^2 $$
Через энергию E это выражение преобразуется в:
$$ g(E) = \frac{V}{2\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} E^{1/2} $$
При абсолютном нуле температуры (T = 0) электроны заполняют все состояния от нижней границы энергии до максимальной — энергии Ферми EF.
Число электронов:
N = ∫0EFg(E) dE
Подставляя g(E) и интегрируя, получаем:
$$ E_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( 3\pi^2 \frac{N}{V} \right)^{2/3} $$
где $n = \frac{N}{V}$ — концентрация электронов.
Импульс Ферми:
pF = ℏkF = ℏ(3π2n)1/3
Скорость Ферми:
$$ v_F = \frac{p_F}{m} $$
Средняя энергия электрона при T = 0:
$$ \langle E \rangle = \frac{3}{5} E_F $$
Это существенно отличается от классической теории (где средняя энергия была бы $\frac{3}{2} k_B T$), что отражает квантовую природу электронного газа.
Электронная теплоёмкость при низких температурах: В классической модели Друде теплоёмкость электронов должна быть порядка $\frac{3}{2}Nk_B$, что на несколько порядков превышает экспериментальные данные. Модель свободных электронов, учитывающая статистику Ферми–Дирака, предсказывает:
CV ∝ T
при T ≪ TF, где TF = EF/kB — температура Ферми.
В отсутствие внешних полей электроны движутся хаотично, но при приложении электрического поля возникает направленное смещение центров заполненных состояний в пространстве k, что создаёт электрический ток. В рамках модели Друде–Соммерфельда удельная проводимость:
$$ \sigma = \frac{ne^2\tau}{m} $$
где τ — среднее время между столкновениями.
Модель свободных электронов даёт корректное объяснение высокой проводимости металлов, при этом уточняя недостатки классической модели Друде, включая учёт принципа Паули и распределения Ферми–Дирака.
В слабом магнитном поле электроны испытывают эффект Ландау-диамагнетизма, а также проявляют парамагнитизм Паули. Парамагнитная восприимчивость Паули:
χP = μ0μB2g(EF)
где μB — магнетон Бора.