Модель Зоммерфельда

Основные положения и предпосылки

Модель Зоммерфельда представляет собой развитие модели свободных электронов Друде, в которой учитываются принципы квантовой механики и статистика Ферми–Дирака. Она была предложена Арнольдом Зоммерфельдом в 1928 году и позволяет описывать электронные свойства металлов с гораздо большей точностью, чем классическая модель. Ключевое отличие — рассмотрение электронов как ферми-частиц с полуцелым спином и подчинение их Паулиевскому принципу запрета, что радикально изменяет распределение частиц по энергиям.

В данной модели предполагается:

  • Электроны ведут себя как свободные частицы в потенциале, создаваемом положительно заряженной ионной решёткой (модель “желе”).
  • Электрон-электронное взаимодействие не учитывается явно, но включается в эффективную массу электрона.
  • Решётка неподвижна, а её влияние сводится к граничным условиям и периодической структуре потенциальной энергии, которая в первом приближении считается постоянной.

Энергетические состояния и статистика Ферми–Дирака

В отличие от модели Друде, где электроны подчиняются классической статистике Максвелла–Больцмана, Зоммерфельд использовал статистику Ферми–Дирака:

$$ f(E) = \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_F}{k_B T} \right) + 1} $$

где EF — энергия Ферми, kB — постоянная Больцмана, T — температура.

Энергия Ферми определяется как максимальная энергия, которую может иметь электрон при абсолютном нуле температуры. Для трёхмерного электронного газа она выражается формулой:

$$ E_F = \frac{\hbar^2}{2m_e} (3\pi^2 n)^{2/3} $$

где n — концентрация электронов, me — масса электрона, ℏ — приведённая постоянная Планка.

Особенности распределения:

  • При T = 0 все состояния с E < EF заполнены, а с E > EF — пусты.
  • При малых температурах T ≪ TF (где TF = EF/kB) заполнение уровней изменяется лишь вблизи EF, что приводит к слабой температурной зависимости большинства электронных свойств.

Плотность состояний

Для свободных электронов в трёхмерном пространстве плотность состояний по энергии имеет вид:

$$ g(E) = \frac{V}{2\pi^2} \left( \frac{2m_e}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E} $$

где V — объём кристалла.

Интегрирование плотности состояний с функцией распределения Ферми–Дирака позволяет получить концентрацию электронов и среднюю энергию при любой температуре.

Теплоёмкость электронного газа

Одним из важных успехов модели Зоммерфельда стало объяснение аномально низкой электронной теплоёмкости металлов.

Классическая модель предсказывала:

$$ C_V^{\text{класс}} = \frac{3}{2} n k_B $$

что значительно превышает экспериментальные значения.

В модели Зоммерфельда учитывается, что при низких температурах в теплопередаче участвуют только электроны вблизи уровня Ферми (в слое толщиной порядка kBT), что приводит к линейной зависимости:

CVэл = γT

где γ — коэффициент Зоммерфельда, зависящий от плотности состояний на уровне Ферми:

$$ \gamma = \frac{\pi^2}{3} k_B^2 g(E_F) $$

Электропроводность и закон Вида–Франца

Используя квантовое распределение электронов и гипотезу о характерном времени релаксации τ, Зоммерфельд получил выражения для электропроводности:

$$ \sigma = \frac{n e^2 \tau}{m_e} $$

Сравнивая теплопроводность κ и электропроводность σ, модель предсказывает закон Вида–Франца:

$$ \frac{\kappa}{\sigma T} = L $$

где постоянная Лоренца

$$ L = \frac{\pi^2}{3} \left( \frac{k_B}{e} \right)^2 $$

совпадает с экспериментально наблюдаемым значением при высоких температурах.

Магнитные свойства и диамагнетизм Паули

В модели Зоммерфельда учитывается спиновое вырождение уровней. При наложении внешнего магнитного поля электроны с разными ориентациями спина заполняют уровни с небольшим смещением по энергии. Это приводит к слабому парамагнетизму Паули:

χP = μ0μB2g(EF)

где μB — магнетон Бора, μ0 — магнитная постоянная.

Одновременно свободный электронный газ демонстрирует диамагнетизм Ландау, связанный с орбитальным движением в магнитном поле. В чистом виде эти эффекты почти компенсируются.

Ограничения модели

Хотя модель Зоммерфельда значительно улучшает классическое описание, она имеет ограничения:

  • Не учитывает зонную структуру, предсказывая металл для любого вещества с ненулевой концентрацией электронов.
  • Не объясняет аномальные магнитные свойства некоторых металлов (ферромагнетизм, антиферромагнетизм).
  • Не учитывает электрон-фононное взаимодействие и связанные с ним эффекты сверхпроводимости.
Оглавление