Понятие нормальных мод колебаний
В кристаллических твёрдых телах атомы или ионы расположены в узлах периодической решётки и совершают колебания вокруг положения равновесия. Эти колебания можно рассматривать как суперпозицию независимых коллективных движений, каждое из которых обладает определённой частотой и пространственной формой. Такие независимые коллективные колебания называются нормальными модами или нормальными колебаниями.
При малых отклонениях атомов от равновесных положений потенциальная энергия взаимодействия может быть разложена в ряд Тейлора и ограничена квадратичными членами по смещениям, что приводит к системе линейных дифференциальных уравнений. Решение такой системы методом диагонализации матрицы сил позволяет выделить набор независимых координат — нормальных координат, в которых система распадается на совокупность независимых гармонических осцилляторов.
Математическая формулировка задачи
Рассмотрим систему из N атомов в кристалле. Каждому атому соответствуют три степени свободы (по числу пространственных координат). Полная система уравнений движения в матричном виде может быть записана как:
$$ M \ddot{\mathbf{u}} + K \mathbf{u} = 0, $$
где u — вектор смещений всех атомов, M — диагональная матрица масс, K — матрица силовых постоянных (жёсткости).
Ищем решение в виде гармонических колебаний:
u(t) = Aeiωt,
подстановка которого приводит к обобщённому собственному уравнению:
(K − ω2M)A = 0.
Ненулевые решения существуют только при условии:
det (K − ω2M) = 0,
что даёт дискретный набор собственных частот ωj и соответствующих собственных векторов Aj, определяющих форму колебаний. Каждый собственный вектор соответствует нормальной моде.
Физический смысл нормальных мод
Нормальная мода описывает такое состояние системы, при котором все атомы колеблются с одной и той же частотой, но с определёнными амплитудами и фазами, фиксированными для данной моды. При этом энергия не переходит между модами: возбуждение одной моды не приводит к появлению колебаний с другой частотой.
В пространственно-периодических системах (кристаллах) нормальные моды имеют вид плоских волн:
uq, s(Rl, t) = eq, sei(q ⋅ Rl − ωq, st),
где q — волновой вектор, s — индекс ветви (поляризация), eq, s — поляризационный вектор, Rl — координата узла решётки.
Динамическая матрица и её роль
Для периодических систем удобно вводить динамическую матрицу D(q), определяемую как:
∑βDαβ(q)eβ = ω2(q)eα.
Элементы Dαβ(q) зависят от сил взаимодействия между атомами и масс. Решение задачи на собственные значения для каждой точки в пространстве волновых векторов даёт спектр колебаний ω(q), называемый фононным спектром.
Акустические и оптические моды
В кристаллах с несколькими атомами в элементарной ячейке число нормальных мод увеличивается. Их можно классифицировать на:
Акустические моды — частота стремится к нулю при q → 0. Они соответствуют коллективному смещению атомов в одной фазе, что приводит к распространению звуковых волн в кристалле. Существует три акустические ветви: продольная (LA) и две поперечные (TA).
Оптические моды — при q → 0 имеют конечную частоту. Они соответствуют колебаниям атомов в элементарной ячейке в противофазе, что приводит к взаимодействию с электромагнитным излучением (оптическое поглощение, комбинационное рассеяние).
Энергетические свойства нормальных мод
В классической теории энергия каждой нормальной моды при температуре T равна kBT (теорема о равнораспределении энергии). В квантовой теории энергия моды квантуется:
$$ E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), $$
где n = 0, 1, 2, …. Кванты нормальных колебаний называются фононами.
Энергетический спектр фононов определяет теплоёмкость, теплопроводность и другие термодинамические свойства кристалла.
Дисперсионные соотношения и их измерение
График зависимости ω(q) для всех ветвей называется дисперсионной кривой. Для однородных изотропных кристаллов акустические ветви при малых q линейны:
ω ≈ vsq,
где vs — скорость звука.
Экспериментальные методы определения дисперсии нормальных мод включают:
Взаимодействие нормальных мод с внешними возмущениями
Нормальные моды могут взаимодействовать с дефектами, примесями, внешними полями и друг с другом (ангармонизм). Это приводит к: