Определение и физический смысл плотности состояний
Плотность электронных состояний (ПЭС, англ. density of states, DOS) описывает, сколько квантовых состояний для электронов доступно в единичном интервале энергии на единицу объёма кристалла. Формально она определяется функцией g(E), такой, что g(E) dE даёт число состояний с энергией в интервале от E до E + dE. ПЭС играет ключевую роль в анализе электронных свойств твёрдых тел, определяя, каким образом электроны заполняют энергетические зоны при различных температурах и уровнях Ферми.
В рамках зонной теории твёрдых тел распределение состояний по энергиям не является равномерным. Оно определяется как дисперсионным законом E(k), так и размерностью пространства (1D, 2D, 3D), а также топологией зон и взаимодействиями.
Математическое определение
Если известен закон дисперсии E(k), плотность состояний в трёхмерном кристалле может быть выражена как:
$$ g(E) = \frac{V}{(2\pi)^3} \int\limits_{S(E)} \frac{dS}{|\nabla_{\mathbf{k}} E(\mathbf{k})|} $$
где:
Эта формула отражает связь между плотностью состояний и геометрией поверхности Ферми (или эквивалентной поверхности для других энергий).
Плотность состояний для свободных электронов
В приближении свободных электронов дисперсионный закон имеет вид:
$$ E(\mathbf{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} $$
Число состояний с волновыми векторами, меньшими чем k, определяется объёмом сферы в k-пространстве:
$$ N(k) = \frac{V}{(2\pi)^3} \cdot \frac{4\pi k^3}{3} $$
Связь энергии и волнового числа:
$$ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $$
Дифференцируя N(E) по энергии, получаем:
$$ g(E) = \frac{V}{2\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E} $$
Таким образом, для трёхмерного газа свободных электронов ПЭС пропорциональна $\sqrt{E}$.
Поведение в разных размерностях
Плотность состояний существенно зависит от размерности системы:
$$ g(E) \propto \frac{1}{\sqrt{E}} $$
Это приводит к сингулярности при E → 0 (особенности Ван Хова).
g(E) = const
Плотность состояний не зависит от энергии (для параболической дисперсии).
$$ g(E) \propto \sqrt{E} $$
Плотность растёт с энергией.
Особенности Ван Хова
В реальных кристаллах, где дисперсия не является простой параболой, ПЭС имеет особенности при энергиях, соответствующих экстремумам и седловым точкам функции E(k). Эти особенности называются особенностями Ван Хова и проявляются как резкие скачки или пики в g(E). Их происхождение связано с тем, что при определённых энергиях поверхность постоянной энергии резко изменяет форму, что увеличивает число доступных состояний.
Плотность состояний и распределение Ферми — Дирака
Электронные свойства кристаллов при конечных температурах определяются совместным действием ПЭС и функции распределения Ферми — Дирака:
$$ f(E) = \frac{1}{\exp\left( \frac{E - E_F}{k_B T} \right) + 1} $$
где EF — уровень Ферми.
Полная концентрация электронов в зоне:
n = ∫Ec∞g(E)f(E) dE
Таким образом, форма g(E) напрямую влияет на электронную концентрацию, проводимость, теплоёмкость и другие макроскопические параметры.
Плотность состояний в приближении эффективной массы
Вблизи экстремума зоны (минимум в зоне проводимости или максимум в валентной зоне) дисперсия часто аппроксимируется как:
$$ E(\mathbf{k}) \approx E_c + \frac{\hbar^2 k^2}{2 m^*} $$
где m* — эффективная масса электрона или дырки.
Для трёхмерного случая ПЭС принимает вид:
$$ g(E) = \frac{V}{2\pi^2} \left( \frac{2 m^*}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E - E_c} $$
Здесь ПЭС зависит от m*, что особенно важно для полупроводников, где эффективные массы могут сильно различаться для разных зон и направлений в k-пространстве.
Роль плотности состояний в оптических и транспортных свойствах
Графическое представление
В металлах g(E) на уровне Ферми обычно ненулевая и относительно плавная. В полупроводниках и диэлектриках между валентной и проводящей зонами имеется запрещённая зона, где g(E) = 0. У реальных материалов кривая g(E) сложна и часто рассчитывается методами ab initio (например, в рамках теории функционала плотности).