Плотность фононных состояний

Определение и физический смысл плотности фононных состояний

Плотность фононных состояний (ПФС) g(ω) описывает число колебательных мод в кристалле, приходящихся на единичный интервал частот. Этот параметр является фундаментальной характеристикой кристаллической решётки, определяющей, как именно распределены возможные фононные колебания по частоте. ПФС играет ключевую роль в вычислении термодинамических величин, таких как теплоёмкость, внутренняя энергия и теплопроводность, так как именно через интегрирование по g(ω) выражаются вклады фононов в эти свойства.

Математически плотность состояний определяется как

$$ g(\omega) = \frac{dN(\omega)}{d\omega} $$

где N(ω) — количество фононных мод с частотами меньше или равными ω.

Связь с дисперсионным соотношением

Дисперсионное соотношение ω(k) задаёт зависимость частоты колебаний от волнового вектора k. Плотность состояний напрямую связана с геометрией поверхности равной частоты в пространстве k.

В общем виде для трёхмерного кристалла:

$$ g(\omega) = \frac{V}{(2\pi)^3} \sum_s \int_{S(\omega,s)} \frac{dS}{|\nabla_{\mathbf{k}}\omega_s(\mathbf{k})|} $$

где интеграл берётся по поверхности в пространстве k, на которой выполняется ω_s(k) = ω, индекс s соответствует ветви фононного спектра (акустической или оптической), а |∇_kω| — величина групповой скорости фононов.

Данный вид выражения подчёркивает, что ПФС увеличивается там, где групповая скорость мала (области «замедления» фононов), и уменьшается в диапазонах, где дисперсия крутая.

Пример: одномерная модель и модель Дебая

В одномерной цепочке из одинаковых атомов с дисперсией вида

$$ \omega(k) = 2\sqrt{\frac{C}{M}} \left| \sin\left(\frac{ka}{2}\right) \right| $$

где C — константа упругости, M — масса атома, a — период, плотность состояний имеет вид

$$ g(\omega) = \frac{L}{\pi} \frac{1}{\sqrt{\omega_{\text{max}}^2 - \omega^2}} $$

Здесь L — длина цепочки, ω_max — максимальная фононная частота. Форма этой функции указывает на сингулярности Ван-Хова при краях зоны Бриллюэна, где групповая скорость обращается в ноль.

В трёхмерной модели Дебая предполагается линейная дисперсия ω = v_sk вплоть до некоторого предельного вектора k_D. В этом случае

$$ g(\omega) = \frac{9N}{\omega_D^3} \omega^2 $$

где ω_D — дебаевская частота, N — число атомов. Такой вид ПФС даёт правильное поведение при ω → 0 и используется для описания низкотемпературных свойств кристаллов.

Сингулярности Ван-Хова

В реальных кристаллах ПФС содержит особые точки — сингулярности Ван-Хова, возникающие в местах, где градиент ∇_kω равен нулю. Эти особенности связаны с критическими точками дисперсионного соотношения:

Максимумы (∇_kω = 0, ∇_k²ω < 0) — приводят к резкому увеличению ПФС на верхних границах ветвей.
Минимумы (∇_kω = 0, ∇_k²ω > 0) — вызывают аналогичный эффект в низкочастотной области.
Седловые точки — создают логарифмические особенности в g(ω), характерные для промежуточных частот.

Наличие этих особенностей можно наблюдать экспериментально с помощью неупругого нейтронного рассеяния или спектроскопии неупругого рассеяния света.

Роль в термодинамических свойствах

Плотность фононных состояний — ключевой элемент при вычислении энергии фононного газа:

U = ∫₀^ω_maxℏω n(ω, T) g(ω) dω

где n(ω, T) — функция Бозе–Эйнштейна.

Теплоёмкость при постоянном объёме получается как

$$ C_V = \int_0^{\omega_{\text{max}}} k_B \left( \frac{\hbar\omega}{k_B T} \right)^2 \frac{e^{\hbar\omega/k_B T}}{(e^{\hbar\omega/k_B T} - 1)^2} \, g(\omega) \, d\omega $$

Таким образом, форма g(ω) напрямую определяет температурную зависимость теплоёмкости: модель Дебая описывает кубическую зависимость C_V ∝ T³ при низких температурах, в то время как при высоких температурах наблюдается насыщение до предела Дюлонга–Пти.

Экспериментальное определение

ПФС можно определить экспериментально несколькими методами:

Неупругое нейтронное рассеяние — даёт прямую информацию о распределении фононных мод.
Неупругое рентгеновское рассеяние — позволяет изучать более высокочастотные оптические моды.
Инфракрасная и комбинационная (рамановская) спектроскопия — фиксируют отдельные пики в области оптических ветвей.

Часто экспериментальные данные требуют численного восстановления ПФС с использованием методов обратного преобразования Фурье и интегральных уравнений.