Общие положения
Плотность состояний (ПС) — фундаментальная характеристика квантовых систем, описывающая число доступных энергетических уровней в единичном интервале энергии и в единичном объёме (или площади, или длине — в зависимости от размерности системы). Для низкоразмерных структур, таких как квантовые ямы (2D), квантовые нити (1D) и квантовые точки (0D), поведение ПС существенно отличается от трёхмерного случая. Эти различия напрямую связаны с изменением дисперсионного закона, граничными условиями и квантованием движения носителей заряда.
Важность ПС в физике конденсированного состояния определяется тем, что она входит в расчёты тепловых, оптических, транспортных и магнитных свойств материалов. В частности, она влияет на спектры поглощения и испускания, концентрацию носителей при заданной температуре, коэффициенты проводимости и теплоёмкости.
Формальное определение
Плотность состояний g(E) определяется как:
$$ g(E) = \frac{dN(E)}{dE} $$
где N(E) — общее число состояний с энергией меньше E.
В трёхмерном случае при параболической дисперсии $E(\mathbf{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}$ плотность состояний имеет вид:
$$ g_{3D}(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2m^*}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E - E_c} $$
где Ec — энергия дна зоны, m* — эффективная масса носителей.
Однако при уменьшении размерности система демонстрирует совершенно иную зависимость g(E) от энергии.
Двумерные системы (квантовые ямы)
Для двумерных электронных газов движение ограничено по одной координате, что приводит к квантованию энергии вдоль этой оси. Дисперсия в плоскости сохраняется параболической:
$$ E_{n,\mathbf{k}_\parallel} = E_n + \frac{\hbar^2 k_\parallel^2}{2m^*} $$
где En — энергия квантованного подуровня.
В этом случае ПС для одного подуровня оказывается постоянной:
$$ g_{2D}(E) = \frac{m^*}{\pi \hbar^2}, \quad E \ge E_n $$
Каждый новый подуровень добавляет ступеньку в функцию g(E). Такая “ступенчатая” зависимость является отличительной особенностью двумерных систем и хорошо наблюдается в спектрах оптического поглощения.
Одномерные системы (квантовые нити)
В квантовых нитях движение свободно только вдоль одной координаты, а по двум другим — квантовано. Дисперсионный закон для каждого поперечного модового состояния:
$$ E_{n,m,k} = E_{n,m} + \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} $$
где En, m — энергия квантованного модового состояния в поперечном сечении.
ПС в 1D ведёт себя как:
$$ g_{1D}(E) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{m^*}{2\hbar^2 (E - E_{n,m})} \right)^{1/2} $$
Здесь возникает корневая особенность — при E → En, m+ плотность состояний стремится к бесконечности, формируя так называемые сингулярности Ван Хова. Эти особенности значительно усиливают взаимодействие света с квантовыми нитями вблизи краёв подзон.
Нулемерные системы (квантовые точки)
В квантовых точках движение носителей заряда квантовано во всех трёх направлениях. Энергетический спектр дискретен, а ПС представляет собой набор δ-функций:
g0D(E) = ∑nδ(E − En)
В реальных системах, из-за уширения уровней (фононного, неоднородного, радиационного), δ-функции заменяются на гауссовые или лоренцевы пики.
Нулемерные системы проявляют свойства, близкие к атомам (“искусственные атомы”), что делает их крайне перспективными для квантовой электроники и квантовой криптографии.
Сравнительный анализ поведения ПС в различных размерностях
Физические следствия и наблюдаемые эффекты
Методы экспериментального определения ПС