Правило Маттиссена

Общая формулировка правила Маттиссена

В металлах электрическое сопротивление при конечных температурах является результатом суммарного действия нескольких независимых механизмов рассеяния электронов. Правило Маттиссена утверждает, что полное сопротивление материала можно представить как алгебраическую сумму вкладов от различных процессов:

ρ(T) = ρнепр + ρфонон(T) + ρмагн(T) + …

Здесь

  • ρнепр — температура-независимый вклад от рассеяния на дефектах кристаллической решётки (неупорядоченности, примесей, вакансий, дислокаций);
  • ρфонон(T) — вклад от рассеяния на фононах, возрастающий с температурой;
  • ρмагн(T) — вклад от магнитных флуктуаций или спиновых возбуждений, характерный для ферромагнитных и антиферромагнитных материалов.

Правило Маттиссена предполагает, что различные механизмы рассеяния электронов действуют независимо и их сопротивления суммируются напрямую, что справедливо, когда времена релаксации, соответствующие разным процессам, не зависят друг от друга.

Микроскопическая основа

В рамках модели Друде–Зоммерфельда удельное сопротивление связано с временем релаксации τ по формуле:

$$ \rho = \frac{m}{n e^2 \tau} $$

Если в системе существуют несколько независимых каналов рассеяния, то полная частота столкновений электронов определяется как сумма частот, обусловленных каждым каналом:

$$ \frac{1}{\tau_{\Sigma}} = \frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2} + \dots $$

Подставив это выражение в формулу для сопротивления, получаем:

ρΣ = ρ1 + ρ2 + …

Таким образом, линейная аддитивность сопротивлений вытекает из аддитивности обратных времен релаксации при независимых процессах рассеяния.

Температурная зависимость с учётом различных механизмов

  1. При низких температурах (T ≪ ΘD, где ΘD — температура Дебая)

    • Вклад от фононного рассеяния пренебрежимо мал (ρфонон ∝ T5 по закону Блоха–Грюнезена).

    • Сопротивление определяется в основном рассеянием на примесях и дефектах:

      ρ(T) ≈ ρнепр.

  2. В промежуточной области температур (T ≲ ΘD)

    • Фононный вклад растёт быстро, и правило Маттиссена позволяет разделить постоянную составляющую ρнепр и температурно-зависимую часть ρфонон(T).

  3. При высоких температурах (T ≫ ΘD)

    • Фононное рассеяние становится линейным:

      ρфонон(T) ∝ T.

    • Полное сопротивление:

      ρ(T) ≈ ρнепр + αT,

      где α — коэффициент, зависящий от интенсивности электрон-фононного взаимодействия.

Примесное и дефектное рассеяние

Наличие примесей в кристалле создаёт локальные возмущения потенциала, на которых электроны рассеиваются упруго. Такой механизм не зависит от температуры (при условии, что не происходит структурных фазовых переходов). Концентрация примесей c влияет на сопротивление по закону:

ρнепр ∝ c

Эта составляющая определяет остаточное сопротивление ρ0, измеряемое при T → 0.

Рассеяние на фононах

При повышении температуры тепловые колебания атомов усиливаются, что приводит к увеличению вероятности неупругих столкновений электронов с фононами. Модель Блоха–Грюнезена описывает этот процесс:

$$ \rho_{\text{фонон}}(T) = C \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^5 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^5}{(e^x - 1)(1 - e^{-x})} dx $$

Здесь C — константа, зависящая от материала.

Ограничения применимости правила Маттиссена

Хотя правило Маттиссена широко используется для анализа экспериментальных данных, оно не является строго универсальным:

  • При сильных корреляциях между механизмами рассеяния (например, электрон-фононное взаимодействие, зависящее от концентрации примесей) линейная аддитивность нарушается.
  • В случае очень высоких температур или сильных магнитных полей может возникать нелинейная зависимость.
  • В сильно упорядоченных сплавах наблюдаются отклонения, связанные с изменением зонной структуры при добавлении примесей.

Экспериментальная проверка

Методика проверки правила Маттиссена обычно включает измерение сопротивления образца в широком температурном диапазоне до криогенных температур. Постоянная часть графика ρ(T) при T → 0 соответствует ρнепр, а температурно-зависимая часть отделяется с использованием аппроксимации, вытекающей из модели Блоха–Грюнезена.

Оглавление