Пространственные группы симметрии

Понятие пространственных групп симметрии

Пространственная группа симметрии описывает полный набор симметрий кристаллической структуры в трёхмерном пространстве. Она объединяет симметрии переводов (трансляций) с точечными симметриями (вращения, отражения, инверсии) в единую математическую систему, которая полностью характеризует порядок расположения атомов в кристалле. Каждая пространственная группа задаёт возможные операции, оставляющие кристаллическую решётку инвариантной, включая такие сложные элементы, как винтовые оси и плоскости скольжения.

В кристаллографии выделяют 230 уникальных пространственных групп, каждая из которых отражает определённый тип организации атомов и возможна только при условии дискретного трансляционного порядка, характерного для кристаллов.

Структура пространственной группы

Пространственная группа G может быть представлена как комбинация:

G = T ⋊ P

где

  • T — трансляционная подгруппа, описывающая периодичность решётки;
  • P — точечная группа симметрии, содержащая операции, которые могут изменять ориентацию кристалла, но оставляют его геометрическую структуру неизменной.

Элементы пространственной группы могут включать:

  1. Чистые трансляции — смещения на целое число векторов элементарной ячейки.
  2. Вращения вокруг осей (2-, 3-, 4- и 6-кратные).
  3. Отражения относительно кристаллографических плоскостей.
  4. Инверсии относительно центра симметрии.
  5. Винтовые оси — вращения, совмещённые с параллельной трансляцией.
  6. Плоскости скольжения — отражения, совмещённые с параллельным смещением.

Связь с элементарной ячейкой

Элементарная ячейка кристалла является минимальным объёмом, повторение которого посредством операций трансляции создаёт всю решётку. Пространственная группа определяет не только размеры и форму элементарной ячейки, но и расположение атомов внутри неё, а также все допустимые симметрийные преобразования.

При этом различают:

  • Примитивные ячейки (P) — содержат минимальное число узлов;
  • Центрированные ячейки (I, F, C) — содержат дополнительные узлы, расположенные в центре ячейки или на её гранях.

Винтовые оси и плоскости скольжения

Винтовая ось обозначается как nm, где n — кратность вращения, а m — доля трансляции вдоль оси. Например, 41 означает вращение на 90° с последующим смещением на 1/4 вектора трансляции вдоль оси.

Плоскость скольжения задаётся буквой (a, b, c, n, d) и указывает направление смещения, совмещённого с отражением. Например, a-плоскость означает отражение с последующим смещением на половину вектора трансляции вдоль оси a.

Классификация пространственных групп

Пространственные группы распределены по 7 кристаллическим системам:

  1. Триклинная — 2 группы (P1, $P\overline{1}$).
  2. Моноклинная — 13 групп.
  3. Орторомбическая — 59 групп.
  4. Тетрагональная — 68 групп.
  5. Тригональная — 25 групп.
  6. Гексагональная — 27 групп.
  7. Кубическая — 36 групп.

При этом они также группируются в сингонии и системы Браве, а для записи используется систематика Германа–Могена (H–M). Например:

  • $Pm\overline{3}m$ — кубическая группа с зеркальными плоскостями и инверсией;
  • C2/m — моноклинная группа с центрированием по грани и зеркальной плоскостью.

Алгебраическая структура и симметрия кристаллов

С точки зрения математики, пространственная группа является дискретной группой изометрий трёхмерного евклидова пространства E3, в которой подгруппа трансляций T имеет конечный индекс.

Точечная группа симметрии P получается как фактор-группа:

P = G/T

и представляет собой одну из 32 кристаллографических точечных групп, совместимых с трансляционной симметрией.

Физическое значение пространственных групп

Пространственные группы играют ключевую роль в определении:

  • Дифракционной картины при рентгеноструктурном анализе;
  • Энергетической зонной структуры твёрдых тел;
  • Фазовых переходов, при которых меняется симметрия кристалла;
  • Анизотропии физических свойств (электропроводности, теплопроводности, оптических эффектов).

Например, наличие центра инверсии в пространственной группе запрещает существование пьезоэлектрического эффекта, а определённые винтовые оси могут обуславливать хиральность кристаллов.

Методы определения пространственной группы

Определение пространственной группы в эксперименте включает:

  1. Сбор дифракционных данных (рентгеновских, нейтронных или электронных).
  2. Определение параметров элементарной ячейки.
  3. Анализ систематики экстинкций (отсутствующих отражений), указывающих на наличие плоскостей скольжения или винтовых осей.
  4. Проверка симметрий и выбор группы, согласующейся с полученными данными.
Оглавление