Ренормализационная группа

Ренормализационная группа (РГ) представляет собой мощный математический и концептуальный аппарат, позволяющий описывать поведение физических систем на разных масштабах длины или энергии. В физике конденсированного состояния метод РГ используется для анализа критических явлений, фазовых переходов, масштабной инвариантности и универсальности.

Ключевая идея заключается в последовательном «укрупнении» масштабов описания — интегрировании быстрых (коротковолновых) степеней свободы и переходе к эффективным уравнениям движения для медленных (длинноволновых) переменных. При этом параметры системы, такие как константы взаимодействия, температура или масса квазичастиц, трансформируются согласно определённым уравнениям группы ренормализации.

Понятие масштабного преобразования

Пусть система описывается гамильтонианом H[ϕ] с некоторыми параметрами {gi}. Масштабное преобразование предполагает изменение единицы длины:

r → r′ = r/b,  b > 1,

что соответствует переходу от исходной решётки или сплошной среды к укрупнённой «ячейке» наблюдения. При этом:

  1. Поля масштабируются с определённым индексом (критической размерностью):

    ϕ(r) → bΔϕ ϕ′(r′).

  2. Параметры системы изменяются:

    gi → gi′(b),

    формируя поток в пространстве параметров.

Потоки параметров и фиксированные точки

В пространстве параметров {gi} уравнения РГ имеют вид:

$$ \frac{d g_i}{d \ln b} = \beta_i(\{ g_j \}), $$

где βi — β-функции, описывающие эволюцию параметров при изменении масштаба.

Особое значение имеют фиксированные точки {gi*}, при которых:

βi({gj*}) = 0.

Они соответствуют системам, обладающим масштабной инвариантностью. Вблизи критической температуры фазового перехода второго рода система стремится к такому фиксированному состоянию.

Классификация возмущений

Вблизи фиксированной точки параметры можно классифицировать по их поведению при изменении масштаба:

  • Релевантные возмущения — растут при увеличении масштаба (y > 0), приводят к уходу от фиксированной точки.
  • Нерелевантные возмущения — убывают (y < 0), не влияют на крупномасштабную физику.
  • Маргинальные возмущения — не изменяются на первом порядке (y = 0), требуют более тонкого анализа.

Это деление объясняет универсальность критических явлений: детали микроскопических взаимодействий часто оказываются нерелевантными, а поведение системы определяется лишь небольшим числом релевантных параметров.

РГ-анализ критических показателей

Вблизи фиксированной точки поведение системы характеризуется степенными законами:

ξ ∼ |t|−ν,  M ∼ |t|β,  C ∼ |t|−α,

где $t = \frac{T - T_c}{T_c}$, а ν, β, α — критические показатели.

РГ позволяет вычислить эти показатели, используя линейный анализ вблизи фиксированной точки:

gi(b) − gi* ∼ byi,

где yi связаны с критическими показателями через масштабные соотношения.

Метод интегрирования по скоростям (momentum shell)

В подходе Вильсона РГ-операция реализуется через последовательное интегрирование по степеням свободы с большими волновыми числами:

  1. Разделение поля в импульсном пространстве:

    ϕ(k) = ϕ<(k) + ϕ>(k),

    где ϕ> соответствует «быстрым» модам с Λ/b < |k| < Λ.

  2. Интегрирование по ϕ> в функциональном интеграле.

  3. Рескейлинг координат и полей для восстановления исходного диапазона импульсов.

  4. Определение новых эффективных констант взаимодействия.

Ренормализационная группа в физике конденсированного состояния

Метод РГ применяется к широкому кругу задач:

  • Критические явления в магнетиках, жидкостях, сверхпроводниках.
  • Переходы Костерлица–Таулесса в двумерных системах.
  • Квантовые фазовые переходы при T = 0.
  • Сильнокоррелированные электроны и модели типа Хаббарда.
  • Флуктуации в тонких плёнках и наноструктурах.

В этих системах РГ объясняет не только численные значения критических показателей, но и появление универсальных законов масштабирования.

Пространственно-временная РГ и квантовые эффекты

Для квантовых систем необходимо рассматривать не только пространственные масштабы, но и временные, что приводит к добавлению размерности времени в анализ. При этом корреляционная длина ξ и характерное время τ связаны через динамический критический показатель z:

τ ∼ ξz.

Это расширяет рамки РГ, позволяя описывать критическую динамику и неравновесные процессы.

Оглавление