Симметрия кристаллов и точечные группы

Понятие симметрии в кристаллах

Симметрия кристаллов является фундаментальной характеристикой их внутреннего строения и играет ключевую роль в классификации, описании и предсказании физических свойств. Под симметрией понимают совокупность геометрических преобразований, которые переводят кристалл в состояние, неотличимое от исходного. Такие преобразования сохраняют взаимное расположение атомов, иными словами — инвариантны относительно узлов кристаллической решётки.

Элементы симметрии

В кристаллографии выделяют несколько типов элементов симметрии:

  • Центр симметрии (инверсия) — точка в пространстве, относительно которой каждой точке кристалла соответствует точка, находящаяся на том же расстоянии в противоположном направлении.
  • Оси симметрии вращения — воображаемые линии, вокруг которых возможен поворот кристалла на определённый угол, при котором его конфигурация совпадает с исходной. Различают оси 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков, соответствующие поворотам на 180°, 120°, 90° и 60°.
  • Плоскости симметрии (зеркальные) — плоскости, которые делят кристалл на две зеркально симметричные половины.
  • Оси вращения с отражением (вращательно-отражательные оси) — комбинация поворота вокруг оси с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной этой оси.
  • Оси вращения с инверсией — комбинация поворота и инверсии, приводящая к совпадению с исходным положением.

Точечные группы симметрии

Точечная группа симметрии — это набор всех операций симметрии, оставляющих хотя бы одну точку неподвижной. Эти группы описывают ориентационную симметрию кристалла без учёта трансляций.

Всего в кристаллографии выделяют 32 точечные группы симметрии, которые отражают возможные комбинации элементов симметрии, совместимых с периодической структурой трёхмерного пространства. Эти группы образуют классификацию, основанную на кристаллографическом ограничении, согласно которому допустимы только оси вращения 2, 3, 4 и 6 порядка.

Классы кристаллов и их связь с точечными группами

Все кристаллы разделяются на 7 кристаллографических систем, каждая из которых включает несколько точечных групп:

  1. Триклинная — минимальная симметрия, возможна только ось 2-го порядка или её отсутствие.
  2. Моноклинная — наличие одной оси 2-го порядка или одной плоскости симметрии.
  3. Орторомбическая — наличие трёх взаимно перпендикулярных осей 2-го порядка или трёх зеркальных плоскостей.
  4. Тетрагональная — присутствие оси 4-го порядка.
  5. Ромбододекаэдрическая (тригональная) — наличие оси 3-го порядка.
  6. Гексагональная — ось 6-го порядка.
  7. Кубическая — наивысшая симметрия, оси 3-го, 4-го и 2-го порядка в сочетании.

Кристаллографические ограничения симметрии

Кристаллографическая теорема ограничений устанавливает, что в трёхмерном периодическом расположении узлов допускаются только оси вращения 1, 2, 3, 4 и 6 порядка. Оси 5-го, 7-го и более высокого порядка несовместимы с периодичностью, так как они не позволяют замкнуть трёхмерную решётку без разрывов.

Группы и операции симметрии

В математическом смысле любая точечная группа является конечной группой преобразований, обладающей следующими свойствами:

  • Замкнутость — применение двух операций симметрии подряд даёт операцию, также принадлежащую группе.
  • Существование тождества — наличие операции, оставляющей кристалл неизменным.
  • Существование обратных элементов — для каждой операции есть обратная, возвращающая к исходному состоянию.
  • Ассоциативность — операции выполняются в любом порядке без изменения результата их последовательного применения.

Физическое значение симметрии

Симметрия напрямую влияет на физические свойства кристаллов:

  • Электрические свойства (например, пьезоэлектричество возможно только при отсутствии центра симметрии).
  • Оптические свойства (двойное лучепреломление, оптическая активность зависят от типа симметрии).
  • Механические свойства (анизотропия упругих модулей определяется симметрией решётки).

Системы обозначений точечных групп

Наиболее распространены две системы записи:

  • Символы Шёнфлиса — применяются в физике и спектроскопии (например, C2v, D4h, Td).
  • Международная нотация (Герман-Могена) — используется в кристаллографии (например, 4/mmm, 3m, $m\overline{3}m$).

Комбинации элементов симметрии

Не все элементы симметрии могут существовать в кристалле независимо — их сочетания ограничены кристаллографическими законами. Например:

  • Наличие оси 4-го порядка предполагает существование дополнительных осей 2-го порядка, перпендикулярных ей.
  • В кубических кристаллах наличие трёх взаимно перпендикулярных осей 4-го порядка приводит к появлению осей 3-го порядка вдоль диагоналей куба.

Практическое определение точечной группы

Для установления точечной группы реального кристалла используют рентгенографические и оптические методы:

  • Анализ симметрии дифракционных картин.
  • Определение анизотропии физических свойств.
  • Изучение морфологии кристаллов под микроскопом.
Оглавление