Статистическое описание беспорядка

Общие принципы статистического описания беспорядка

Беспорядок в твёрдых телах возникает из-за наличия дефектов, примесей, неоднородностей и случайных флуктуаций параметров системы. Такие неоднородности могут быть как структурными (например, вакансии, дислокации, подстановочные примеси), так и динамическими (тепловые колебания, фононные флуктуации). Для их описания используется статистический подход, так как детальное рассмотрение конкретной конфигурации дефектов практически невозможно при большом числе степеней свободы.

В рамках статистической физики беспорядок представляется через случайные поля или стохастические потенциалы, характеризуемые функциями распределения и корреляциями. Основная цель — вывести усреднённые по ансамблю величины, описывающие поведение электронов, фононов или других квазичастиц в беспорядочной среде.

Различие между статическим и динамическим беспорядком

  • Статический беспорядок: конфигурация дефектов и примесей не меняется со временем. Примером может служить сплав с фиксированным распределением атомов. Статистическое усреднение производится по различным пространственным реализациям структуры.
  • Динамический беспорядок: параметры системы флуктуируют во времени, как в случае тепловых колебаний атомов. Здесь усреднение проводится по времени, что приводит к эффектам, аналогичным шумам в классической теории.

Среднее по ансамблю и конфигурационное усреднение

В статистическом описании вводится конфигурационное усреднение — процесс получения средней величины по всем возможным реализациям беспорядка с заданным распределением вероятностей. Для наблюдаемой величины A оно определяется как

⟨A⟩conf = ∫A[????] P[????] ????????,

где ???? — конкретная конфигурация потенциала беспорядка, а P[????] — функционал распределения вероятности.

Часто беспорядок моделируется гауссовым распределением с нулевым средним и конечной корреляционной длиной ξ, что отражает конечный масштаб пространственной упорядоченности дефектов.

Корреляционные функции случайного потенциала

Ключевую роль в статистическом описании играет двухточечная корреляционная функция:

C(r − r′) = ⟨V(r)V(r′)⟩conf,

которая характеризует пространственную структуру беспорядка. Для белого шума C(r − r′) ∝ δ(r − r′), что соответствует полностью некоррелированным флуктуациям. В более реалистичных моделях корреляции спадают экспоненциально или гауссово:

$$ C(r) \sim \exp\left(-\frac{r}{\xi}\right). $$

Подходы к усреднению по беспорядку

  1. Метод прямого усреднения — используется, когда аналитическая форма распределения известна и интегралы можно вычислить явно.
  2. Метод самосогласованного поля — например, в рамках теории самосогласованного Борновского приближения (SCBA) для учёта многократного рассеяния на дефектах.
  3. Реплицированный метод — математический трюк, при котором вводятся n копий системы, а усреднение производится в пределе n → 0. Этот подход широко применяется в теории спиновых стёкол.
  4. Метод суперсимметрии — замена интегрирования по случайным полям интегрированием по суперполям, что упрощает вычисления для сложных систем.

Влияние беспорядка на физические свойства

Беспорядок приводит к целому ряду эффектов:

  • Уширение энергетических уровней — дискретные уровни в идеальной системе превращаются в полосы с конечной шириной.
  • Локализация Андeрсона — подавление распространения волновых пакетов из-за интерференции многократно рассеянных волн.
  • Изменение плотности состояний (DOS) — появление «хвостов» плотности состояний в запрещённых зонах (эффект Урбаха).
  • Снижение подвижности носителей заряда — за счёт увеличения времени релаксации импульса при рассеянии на дефектах.

Модельные представления беспорядка

Для аналитического и численного анализа часто используются упрощённые модели:

  • Модель δ-коррелированного потенциала:

    ⟨V(r)V(r′)⟩ = g δ(r − r′),

    где g — мера интенсивности беспорядка.

  • Бинарная модель примесей — каждый узел решётки случайно занят атомом типа A или B с вероятностями cA и cB.

  • Модель случайных связей (random bond) — случайные изменения величины взаимодействия между соседними узлами.

Формализм усреднения Грина

Для описания электронных свойств в присутствии беспорядка часто используют функции Грина. Конфигурационно усреднённая функция Грина определяется как

$$ \langle G(E) \rangle = \left\langle \frac{1}{E - H_0 - V + i\eta} \right\rangle_{\text{conf}}, $$

где H0 — гамильтониан идеальной системы, а V — оператор случайного потенциала.

Введение самосогласованного самоупреждения Σ(E) позволяет переписать усреднённую функцию Грина в виде

$$ \langle G(E) \rangle = \frac{1}{E - H_0 - \Sigma(E)}. $$

Этот подход лежит в основе приближения когерентного потенциала (CPA), которое особенно эффективно для описания сплавов.

Переход к сильному беспорядку

В слабом беспорядке можно использовать теорию возмущений по величине случайного потенциала. Однако при сильном беспорядке возникают нелинейные эффекты, требующие более сложных подходов:

  • Перенормировка параметров модели с учётом многократного рассеяния.
  • Применение теории локализации и масштабного анализа (scaling theory of localization).
  • Использование численных методов Монте-Карло и метода передачи матрицы для расчёта транспортных свойств.
Оглавление