Основные положения статистики Ферми–Дирака
Статистика Ферми–Дирака (Ф–Д) описывает распределение частиц, подчиняющихся принципу Паули, в энергетических состояниях при термодинамическом равновесии. Эти частицы называются фермионами, имеют полуцелый спин (s = 1/2, 3/2, …) и не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии более чем по одной частице. Примерами являются электроны, протоны, нейтроны и определённые атомные изотопы.
Применение статистики Ф–Д критически важно для понимания свойств электронного газа в металлах, структуры энергетических зон твёрдых тел, физики полупроводников, поведения нейтронных звёзд и многих явлений в физике конденсированного состояния.
Принцип Паули утверждает, что для фермионов функция состояния должна быть антисимметричной относительно перестановки двух частиц. Это приводит к фундаментальному ограничению: максимум одна частица в данном квантовом состоянии с заданными квантовыми числами (включая проекцию спина).
Это свойство оказывает глубокое влияние на:
Для системы из N неразличимых фермионов с энергиями εi, находящейся в тепловом равновесии при температуре T и химическом потенциале μ, распределение вероятностей определяется методом максимизации термодинамической энтропии при наложенных ограничениях:
∑ini = N,
где ni — среднее число частиц в состоянии с энергией εi.
∑iniεi = E.
С учётом того, что ni может принимать только значения 0 или 1, решение вариационной задачи с использованием множителей Лагранжа даёт:
$$ n_i = \frac{1}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i - \mu}{k_B T}\right) + 1}. $$
Это и есть функция распределения Ферми–Дирака.
$$ n_i = \begin{cases} 1, & \varepsilon_i < \varepsilon_F,\\ 0, & \varepsilon_i > \varepsilon_F, \end{cases} $$
где εF — энергия Ферми.
При ненулевой температуре ступень сглаживается в области порядка kBT вокруг εF.
Химический потенциал μ при T = 0 равен εF, а при малых температурах отклоняется от него с поправками порядка (T/TF)2.
Для трёхмерного идеального газа свободных фермионов плотности n (число частиц на единицу объёма) энергия Ферми выражается как:
$$ \varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( 3\pi^2 n \right)^{2/3}. $$
Температура Ферми:
$$ T_F = \frac{\varepsilon_F}{k_B}. $$
Для электронов в типичном металле TF ∼ 104 K, что значительно превышает комнатную температуру. Это объясняет, почему электронный газ в металле даже при обычных условиях находится в сильно вырожденном состоянии.
Вырожденный ферми-газ обладает давлением вырождения, даже при T = 0. Оно определяется кинетической энергией частиц, занимающих все состояния до уровня Ферми:
$$ P = \frac{2}{5} n \varepsilon_F. $$
Средняя энергия на частицу при T = 0 равна:
$$ \langle E \rangle = \frac{3}{5} \varepsilon_F. $$
Эти соотношения имеют принципиальное значение для описания устойчивости звёздных объектов (белых карликов, нейтронных звёзд), где давление вырождения уравновешивает гравитационное сжатие.
При T ≪ TF поправки к величинам, вычисленным при T = 0, малы и пропорциональны (T/TF)2. Например, теплоёмкость электронного газа линейно растёт с температурой:
CV ≈ γT,
где $\gamma = \frac{\pi^2}{2} \frac{n k_B^2}{\varepsilon_F}$.
Это линейное возрастание сильно отличается от классического закона Дюлонга–Пти, так как в возбуждении участвует лишь малая доля электронов вблизи уровня Ферми.