В твердом теле носители заряда — электроны и дырки — подчиняются квантово-статистическим законам распределения. Их концентрация, энергия и распределение по состояниям зависят от температуры, структуры энергетических зон и взаимодействий с примесями. Поскольку электроны — фермионы со спином 1/2, они подчиняются статистике Ферми–Дирака, в отличие от классических частиц, которые описываются статистикой Максвелла–Больцмана.
Энергетические состояния носителей в кристалле группируются в зоны: валентную зону и зону проводимости, разделённые запрещённой зоной. Для металлов и полуметаллов характерно перекрытие зон или отсутствие щели, тогда как в полупроводниках и изоляторах ширина запрещённой зоны существенна.
Вероятность того, что квантовое состояние с энергией E занято электроном, определяется выражением
$$ f(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - E_F}{k_B T}\right) + 1} $$
где:
Особенности функции:
Для описания концентрации носителей необходимо учитывать плотность энергетических состояний g(E), определяющую число доступных уровней на единицу объёма и интервала энергии. Для трёхмерного электронного газа в эффективной массой модели:
$$ g(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2 m^*}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E - E_c} \quad \text{для зоны проводимости} $$
где:
Аналогично, для валентной зоны:
$$ g(E) = \frac{1}{2\pi^2} \left( \frac{2 m_h^*}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{E_v - E} \quad \text{для дырок} $$
где Ev — верх валентной зоны, mh* — эффективная масса дырки.
Концентрация электронов в зоне проводимости:
n = ∫Ec∞g(E)f(E) dE
Концентрация дырок в валентной зоне:
p = ∫−∞Evg(E)[1 − f(E)] dE
В невырожденных полупроводниках при EF достаточно далеко от края зоны, распределение Ферми–Дирака можно аппроксимировать классическим распределением Максвелла–Больцмана, что даёт:
$$ n \approx N_c \exp\left( -\frac{E_c - E_F}{k_B T} \right) $$
$$ p \approx N_v \exp\left( -\frac{E_F - E_v}{k_B T} \right) $$
где:
Для собственного (чистого) полупроводника:
n = p = ni
$$ n_i = \sqrt{N_c N_v} \, \exp\left( -\frac{E_g}{2 k_B T} \right) $$
где Eg = Ec − Ev — ширина запрещённой зоны.
С ростом температуры концентрация носителей в собственных полупроводниках увеличивается экспоненциально, что определяет температурную зависимость их проводимости.
В присутствии донорных или акцепторных примесей носители появляются за счёт ионизации этих центров. Вероятность ионизации доноров описывается:
$$ N_D^+ = \frac{N_D}{1 + g_D \exp\left(\frac{E_F - E_D}{k_B T}\right)} $$
где:
Аналогично для акцепторов:
$$ N_A^- = \frac{N_A}{1 + g_A \exp\left(\frac{E_A - E_F}{k_B T}\right)} $$
При низких температурах часть доноров и акцепторов остаётся неионизованной, и концентрация носителей определяется статистикой заполнения примесных уровней.
В случае высокой концентрации носителей (EF находится в зоне проводимости или валентной зоне) необходимо использовать полное распределение Ферми–Дирака без приближений. Тогда интегралы для n и p выражаются через интегралы Ферми:
$$ n = N_c F_{1/2} \left( \frac{E_F - E_c}{k_B T} \right) $$
$$ p = N_v F_{1/2} \left( \frac{E_v - E_F}{k_B T} \right) $$
где:
$$ F_{j}(\eta) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_{0}^{\infty} \frac{x^j}{\exp(x - \eta) + 1} dx $$
В металлах при комнатной температуре kBT ≪ EF, поэтому лишь небольшая доля электронов участвует в тепловых процессах, а основная масса электронов остаётся в состоянии, близком к T = 0 К.