Структурный фактор

Понятие структурного фактора

В рентгеновской, нейтронной и электронно-дифракционной кристаллографии структурный фактор является фундаментальной величиной, определяющей амплитуду и фазу когерентно рассеянной волны от кристалла при заданном векторе обратного пространства. Он описывает, как атомы внутри элементарной ячейки распределены в пространстве и как их взаимное расположение влияет на интерференционную картину.

При дифракции каждая элементарная ячейка действует как когерентный источник вторичных волн, возникающих вследствие взаимодействия падающего излучения с электронами (для рентгеновских лучей) или с ядрами и магнитными моментами (для нейтронов). Полная амплитуда отражённого пучка получается как результат суперпозиции волн, рассеянных отдельными атомами в пределах одной ячейки, с учётом их относительных положений и фазовых сдвигов.

Математическое определение

Структурный фактор F(h) для отражения, соответствующего вектору обратной решётки

h = ha^* + kb^* + lc^*

(где h, k, l — целые индексы Миллера, а a^*, b^*, c^* — базисные векторы обратной решётки), записывается как

$$ F_{hkl} = \sum_{j=1}^{N} f_j(\mathbf{h}) \, e^{2\pi i (h x_j + k y_j + l z_j)} $$

где:

N — количество атомов в элементарной ячейке;
f_j(h) — атомный форм-фактор j-го атома, зависящий от модуля вектора рассеяния |h| и типа излучения;
(x_j, y_j, z_j) — координаты атома в долях параметров решётки;
экспоненциальный множитель учитывает фазовый сдвиг, связанный с положением атома в ячейке.

Физический смысл

Структурный фактор играет роль комплексной амплитуды отражённого излучения. Его модуль |F_hkl| определяет интенсивность дифракционного пика:

I_hkl ∝ |F_hkl|²

а его аргумент φ_hkl = arg (F_hkl) определяет фазу волны. Именно фазовая информация, которая напрямую не измеряется в экспериментах, является центральной проблемой в решении обратной задачи кристаллографии.

Влияние симметрии и выборочных правил

Симметрия кристаллической структуры и группы пространства напрямую влияют на форму структурного фактора. Для некоторых комбинаций h, k, l структурный фактор может обращаться в ноль из-за взаимной интерференции волн от разных атомов. Это явление называют взаимным гашением (extinction rules).

Например:

Для простой кубической решётки с одним атомом в узле:

F_hkl = f для всех h, k, l

— нет запрещённых отражений.

Для ОЦК-решётки (кубической объёмно-центрированной):

F_hkl ∝ 1 + e^{πi(h + k + l)}

— отражения существуют только при h + k + l = чётное.

Для ГЦК-решётки (кубической гранецентрированной):

F_hkl ∝ 1 + e^{πi(k + l)} + e^{πi(h + l)} + e^{πi(h + k)}

— разрешены отражения только при одинаковой чётности индексов.

Атомный форм-фактор

Величина f_j(h) описывает, как отдельный атом рассеивает падающее излучение. Для рентгеновской дифракции атомный форм-фактор уменьшается с увеличением угла рассеяния из-за конечных размеров электронной оболочки. При малых углах он приближается к числу электронов атома Z. Для нейтронов, в отличие от рентгенов, форм-фактор практически не зависит от угла и определяется ядерным сечением рассеяния.

Температурный (Дебая-Валлера) множитель

Тепловые колебания атомов вносят дополнительный множитель в структурный фактор:

F_hkl → F_hkl ⋅ e^{−B(sin θ/λ)²}

где B — параметр Дебая-Валлера, θ — угол Брэгга, λ — длина волны. Этот фактор учитывает снижение интенсивности при высоких температурах и для больших углов рассеяния.

Роль структурного фактора в кристаллографии

Структурный фактор — это связующее звено между реальным пространством и обратным пространством. Он обеспечивает математическую основу для перехода от экспериментальных дифракционных данных к реальной атомной модели кристалла. Его вычисление требует знания координат атомов, а восстановление структуры — знания как амплитуд, так и фаз, что лежит в основе методов прямого решения фазовой проблемы.