Формулировка и физический смысл
Теорема Блоха утверждает, что для электрона, движущегося в кристалле с периодическим потенциалом, волновая функция может быть представлена в виде произведения плоской волны и функции, обладающей периодичностью кристаллической решётки:
ψnk(r) = eik ⋅ runk(r),
где k — квазивектор (или волновой вектор), n — номер зоны, а функция unk(r) удовлетворяет условию периодичности:
unk(r + R) = unk(r),
при любых векторах трансляции решётки R.
Это фундаментальное утверждение позволяет описывать движение электронов в твёрдых телах с учётом периодической структуры потенциала и является основой зонной теории твёрдого тела.
Математическая предпосылка
Рассмотрим гамильтониан электрона в одночастичном приближении:
$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}), $$
где V(r) — потенциал, обладающий свойством:
V(r + R) = V(r).
Оператор трансляции на вектор решётки T̂R коммутирует с гамильтонианом:
[Ĥ, T̂R] = 0.
Поскольку операторы T̂R образуют абелеву группу, их собственные функции могут быть выбраны так, что:
T̂Rψ(r) = eik ⋅ Rψ(r),
где k является характеристическим вектором (волновым вектором Блоха).
Из этого напрямую следует форма волновой функции в виде плоской волны, умноженной на периодическую функцию.
Квазивектор и первая зона Бриллюэна
Квазивектор k не является импульсом в прямом смысле, однако тесно с ним связан. Он определяется с точностью до вектора обратной решётки G:
ψn, k + G(r) = ψnk(r).
Поэтому пространство возможных значений k можно ограничить первой зоной Бриллюэна — элементарной ячейкой в пространстве обратных векторов.
Следствия теоремы Блоха
Декомпозиция задачи на отдельные k-точки. Благодаря теореме Блоха задача нахождения собственных состояний электронов сводится к решению уравнения Шрёдингера для каждого фиксированного k, что существенно упрощает вычисления.
Возникновение энергетических зон. При вариации k в пределах первой зоны Бриллюэна энергетические уровни образуют непрерывные зоны En(k), разделённые запрещёнными зонами — энергетическими промежутками, в которых нет разрешённых состояний.
Симметрия спектра. Из периодичности потенциала следует периодичность спектра:
En(k + G) = En(k).
Возможность использования разложения по плоским волнам. Периодическая часть unk(r) может быть разложена в ряд Фурье по векторам обратной решётки, что лежит в основе методов расчёта зонной структуры (метод плоских волн, метод псевдопотенциалов).
Вывод волновой функции Блоха
Запишем собственное уравнение для оператора трансляции:
T̂Rψ(r) = ψ(r + R) = λRψ(r),
где λR — собственное значение.
Из групповых свойств трансляций:
λR1 + R2 = λR1λR2,
следует, что
λR = eik ⋅ R,
где k — вектор, одинаковый для всех R.
Таким образом,
ψ(r + R) = eik ⋅ Rψ(r),
и введя unk(r) = e−ik ⋅ rψnk(r), получаем условие периодичности unk(r + R) = unk(r).
Физическая интерпретация
Волновая функция Блоха описывает электрон как квазисвободную частицу, движущуюся в поле периодического потенциала, но сохраняющую квазиимпульс ℏk. Периодическая часть волновой функции отражает структуру кристаллической решётки, а экспоненциальный множитель — аналог плоской волны свободного электрона.
Это сочетание «свободной» и «периодической» природы позволяет объяснить такие явления, как электронная проводимость, формирование запрещённых зон, а также аномальные эффекты в оптических и транспортных свойствах твёрдых тел.
Практическое применение в теории твёрдого тела