Теория Ландау фазовых переходов

Общие положения теории Ландау

Теория фазовых переходов, предложенная Л. Д. Ландау, представляет собой феноменологический подход, позволяющий описывать критическое поведение систем на основе общих принципов симметрии и минимизации свободной энергии. Ключевая идея состоит в том, что поведение системы вблизи точки фазового перехода может быть описано с помощью параметра порядка — величины, характеризующей изменение симметрии между различными фазами.

Параметр порядка обозначается как η (или m в случае магнитных систем). В высокосимметричной фазе η = 0, в низкосимметричной фазе η ≠ 0. Выбор конкретного вида η определяется природой рассматриваемого перехода. Например, в ферромагнитах η — это намагниченность, в сверхпроводниках — комплексная амплитуда сверхпроводящего порядка, в жидких кристаллах — тензор ориентационного порядка.

Разложение свободной энергии

Свободная энергия F в окрестности температуры фазового перехода Tc представляется в виде разложения по степеням параметра порядка:

F(η) = F0 + a(T)η2 + bη4 + cη6 + …

Здесь:

  • F0 — свободная энергия высокосимметричной фазы;
  • a(T) — коэффициент, зависящий от температуры, обычно представляемый как a(T) = a0(T − Tc);
  • b, c — температурно-независимые коэффициенты, определяемые симметрией и физической природой системы.

Принцип минимизации: равновесное значение параметра порядка определяется условием

$$ \frac{\partial F}{\partial \eta} = 0 $$

при условии положительной второй производной, обеспечивающей устойчивость.

Классификация переходов в теории Ландау

  1. Фазовые переходы второго рода

    • Происходят непрерывно: η изменяется от нуля до конечного значения без скачка.

    • Для устойчивости необходимо b > 0.

    • Минимизация энергии даёт:

      η = 0  (T > Tc)

      $$ \eta^2 = -\frac{a(T)}{2b} \quad (T < T_c) $$

    • При T → Tc− параметр порядка подчиняется закону

      η ∝ (Tc − T)1/2

      что соответствует критическому индексу β = 1/2 в приближении Ландау.

  2. Фазовые переходы первого рода

    • Характеризуются скачкообразным изменением параметра порядка.
    • Возникают при b < 0 и c > 0.
    • Разложение свободной энергии содержит два локальных минимума, между которыми при определённой температуре происходит скачкообразный переход.
    • Сопровождаются выделением или поглощением скрытой теплоты, а также гистерезисом при изменении температуры.

Роль симметрии

В основе подхода Ландау лежит постулат: форма функционала свободной энергии определяется симметрией высокотемпературной фазы. Разрешённые члены разложения выбираются так, чтобы они оставались инвариантными относительно группы симметрии этой фазы.

Например:

  • Для ферромагнетика инвариантность относительно обращения намагниченности (η → −η) запрещает появление членов нечётных степеней η.
  • Для сегнетоэлектрика с несоосной симметрией могут присутствовать члены третьей степени, что допускает переход первого рода.

Таким образом, тип фазового перехода определяется как знаком коэффициентов b, c, так и структурой разрешённых членов, зависящей от симметрии.

Критические показатели и приближение Ландау

Теория Ландау даёт аналитические значения критических показателей:

  • β = 1/2 — поведение параметра порядка;
  • γ = 1 — расходимость магнитной восприимчивости;
  • α = 0 — логарифмическая сингулярность теплоёмкости;
  • δ = 3 — изотермическая зависимость поля от параметра порядка при T = Tc.

Эти значения справедливы только в так называемом среднепольном приближении, когда флуктуации параметра порядка малы и не играют решающей роли (высокие размерности или далёкие от критичности состояния). Вблизи критической точки в низких размерностях флуктуации становятся значимыми, и наблюдаемые критические показатели отклоняются от ландауовских предсказаний.

Флуктуации и предел применимости

В теории Ландау флуктуации параметра порядка не учитываются явно, что ограничивает её применимость в окрестности критической точки. В трёхмерных системах предсказания Ландау достаточно точны в широком температурном диапазоне, но в непосредственной близости к Tc необходимо учитывать критические флуктуации, что реализуется, например, в теории Ренормгруппы.

Особое значение имеет критерий Гинзбурга, определяющий диапазон температур, в котором теория Ландау неприменима:

|T − Tc| < Tc Gi

где Gi — безразмерное число Гинзбурга, зависящее от конкретных параметров системы.

Обобщения теории Ландау

  1. Теория Ландау–Гинзбурга Включает градиентные члены в функционал свободной энергии для описания пространственно-неоднородных состояний:

    F = ∫[a(T)η2 + bη4 + c(∇η)2]dV

    Этот подход используется, например, для описания доменных структур и вихревых состояний.

  2. Многокомпонентные параметры порядка Для систем со сложной симметрией параметр порядка может иметь векторную или тензорную природу. Соответствующие разложения учитывают все инварианты группы симметрии.

  3. Куплированные переходы При наличии нескольких взаимодействующих параметров порядка свободная энергия включает перекрёстные члены, что может приводить к сложным сценариям фазовых переходов и мультикритическим точкам.

Оглавление