Теплопроводность

Микроскопическая природа теплопроводности

Теплопроводность в конденсированных средах определяется способностью вещества переносить тепловую энергию от одной области к другой за счёт движения микроскопических носителей энергии. В зависимости от природы материала и условий процесса, такими носителями могут быть:

  • электроны проводимости — в металлах и сплавах;
  • фононы — квазичастицы, описывающие кванты колебаний кристаллической решётки;
  • магноны — кванты спиновых волн в магнитоупорядоченных кристаллах;
  • коллективные моды возбуждений — в системах с сильными корреляциями частиц.

Для большинства диэлектриков и полупроводников основной вклад в теплопроводность вносят фононы, тогда как в чистых металлах доминирует электронный перенос тепла.

Формулировка закона теплопроводности

В макроскопическом описании теплопроводность подчиняется закону Фурье:

q = −κ∇T,

где q — вектор плотности теплового потока, κ — коэффициент теплопроводности (Вт/(м·К)), ∇T — градиент температуры.

Отрицательный знак отражает направление теплового потока от области с более высокой температурой к области с более низкой температурой.

Теплопроводность в металлах

В металлах теплоперенос осуществляется преимущественно за счёт движения электронов проводимости. Приближённое соотношение между теплопроводностью и электропроводностью в металлах задаётся законом Видемана–Франца:

$$ \frac{\kappa}{\sigma T} \approx L, $$

где σ — электропроводность, T — абсолютная температура, L — постоянная Лоренца (L ≈ 2, 44 × 10−8 Вт·Ом/К2).

Данное соотношение следует из модели свободных электронов, предполагающей, что механизмы рассеяния, определяющие электрическую и тепловую проводимость, совпадают.

Фононная теплопроводность

В изолирующих кристаллах перенос тепла осуществляется фононами. Коэффициент теплопроводности фононного газа можно записать в виде:

$$ \kappa_{\text{ф}} = \frac{1}{3} C_v v_s \ell, $$

где Cv — объёмная теплоёмкость при постоянном объёме, vs — средняя скорость звука в кристалле, ℓ — средняя длина свободного пробега фононов.

Основные механизмы рассеяния фононов:

  1. Анизотропия и дефекты решётки — приводят к упругому рассеянию фононов, ограничивая длину их пробега.
  2. Фонон–фононное взаимодействие (процессы Умклаппа) — неупругое рассеяние, при котором суммарный квазиимпульс не сохраняется в пределах первой зоны Бриллюэна. Этот механизм становится доминирующим при высоких температурах.
  3. Границы кристалла — в наноструктурах и тонких плёнках теплопроводность может быть ограничена главным образом рассеянием на границах.

Температурная зависимость теплопроводности

  • Металлы: при низких температурах (T ≪ ΘD, где ΘD — температура Дебая) теплопроводность растёт пропорционально T, так как растёт теплоёмкость электронов. При высоких температурах (T ≫ ΘD) она уменьшается из-за усиленного рассеяния на фононах.
  • Диэлектрики: при T ≪ ΘD теплопроводность растёт как T3 (закон Дебая), а затем, при достижении максимума, уменьшается примерно как 1/T вследствие процессов Умклаппа.

Квантово-статистическое описание

Транспортные свойства фононов и электронов можно описывать в рамках уравнения Больцмана для функции распределения f(k, r, t). Для стационарного случая и однородного материала оно принимает вид:

$$ \mathbf{v_k} \cdot \nabla T \frac{\partial f_0}{\partial T} = -\frac{\delta f}{\tau}, $$

где f0 — равновесное распределение (Ферми–Дирака для электронов или Бозе–Эйнштейна для фононов), τ — время релаксации. Время релаксации учитывает суммарное влияние всех процессов рассеяния.

Влияние структуры и размерных эффектов

В наноструктурированных материалах теплопроводность часто снижается из-за дополнительного рассеяния носителей на границах и поверхностях. Это свойство используется в термоэлектрических материалах, где необходимо минимизировать теплопроводность при сохранении высокой электрической проводимости.

Особое значение имеют:

  • многослойные структуры, в которых теплопередача через интерфейсы ограничена межфазным тепловым сопротивлением (эффект Капицы);
  • квазидвумерные материалы (графен, слои MoS₂), для которых характерны необычно высокие значения теплопроводности благодаря большой длине свободного пробега фононов.

Анизотропия теплопроводности

В кристаллах с анизотропной решёткой теплопроводность зависит от направления теплового потока относительно кристаллографических осей. Например, в графите теплопроводность вдоль плоскостей базиса более чем на порядок выше, чем в перпендикулярном направлении.

Оглавление