Теплопроводность электронов

Микроскопическая природа теплопроводности электронов

В металлах теплопроводность в значительной степени определяется движением свободных электронов, которые, помимо переноса электрического заряда, способны переносить и тепловую энергию. Эти электроны образуют вырожденный электронный газ, описываемый статистикой Ферми–Дирака. При температуре, значительно меньшей температуры Ферми T_F, лишь небольшая часть электронов вблизи поверхности Ферми принимает участие в переносе тепла, поскольку только они имеют возможность изменять свою энергию при тепловых возмущениях.

Основные механизмы теплопереноса

Электроны в металлах рассеиваются на различных неоднородностях, что определяет коэффициент теплопроводности:

• На ионах кристаллической решётки (электрон-фононное рассеяние) — при температурах, близких к или выше температуры Дебая, основным механизмом становится взаимодействие с тепловыми колебаниями решётки.
• На дефектах и примесях — при низких температурах, когда амплитуда колебаний решётки мала, доминирует рассеяние на статических дефектах структуры.
• На границах зёрен и поверхностях — важный механизм в поликристаллических и наноструктурированных материалах.

Кинетическая теория теплопроводности электронов

В рамках кинетической теории коэффициент теплопроводности электронов можно записать в виде:

$$ \kappa_e = \frac{1}{3} C_e v_F l $$

где:

• C_e — электронная теплоёмкость,
• v_F — скорость Ферми,
• l — средняя длина свободного пробега электрона.

Поскольку v_F в металлах практически не зависит от температуры, температурная зависимость κ_e в основном определяется изменением теплоёмкости C_e и длины пробега l в результате изменения частоты рассеяний.

Связь с электрической проводимостью

Существенное значение в теории теплопроводности металлов имеет закон Видемана–Франца, связывающий теплопроводность электронов κ_e с электрической проводимостью σ:

$$ \frac{\kappa_e}{\sigma T} = L $$

где L — постоянная Лоренца, равная в простейшей модели свободных электронов:

$$ L_0 = \frac{\pi^2}{3} \left( \frac{k_B}{e} \right)^2 \approx 2.44 \times 10^{-8} \ \text{В}^2/\text{К}^2 $$

Это соотношение вытекает из того, что одни и те же электроны ответственны за перенос как электрического, так и теплового тока, а механизмы их рассеяния одинаковы.

Температурная зависимость теплопроводности

• При низких температурах (T ≪ Θ_D, где Θ_D — температура Дебая) — рассеяние на фононах ослаблено, длина свободного пробега l ограничена дефектами и примесями, и теплопроводность растёт пропорционально температуре: κ_e ∝ T.
• При промежуточных и высоких температурах (T ≳ Θ_D) — частота рассеяния на фононах пропорциональна температуре, и теплопроводность уменьшается примерно как κ_e ∝ 1/T.
• В реальных металлах часто наблюдается максимум κ_e(T) вблизи $ T _D/10$, отражающий переход от доминирования примесного рассеяния к электрон-фононному.

Влияние электрон-электронного взаимодействия

В идеальной модели свободных электронов перенос тепла определяется главным образом рассеянием на фононах и дефектах. Однако в ряде систем с сильными корреляциями (переходные металлы, тяжёлые фермионы, высокотемпературные сверхпроводники) электрон-электронные столкновения могут вносить значимый вклад. При этом они не изменяют электрическую проводимость (из-за сохранения импульса системы), но ограничивают теплопроводность, нарушая закон Видемана–Франца.

Теплопроводность в сверхпроводниках

При переходе в сверхпроводящее состояние электронный вклад в теплопроводность резко падает из-за образования энергетической щели Δ в спектре квазичастиц. При T ≪ T_c теплоперенос обусловлен в основном фононами, поскольку большинство электронов связано в куперовские пары и не участвует в теплопереносе.

Теплопроводность в низкоразмерных системах

В двумерных электронных газах (например, в гетероструктурах GaAs/AlGaAs) и одноразмерных проводниках (нанопроволоки, углеродные нанотрубки) поведение теплопроводности отклоняется от классической картины. Ограниченное число каналов проводимости, квантуемый перенос тепла и эффекты сильной локализации приводят к аномальной температурной зависимости и, в некоторых случаях, к кванту теплопроводности:

$$ \kappa_0 = \frac{\pi^2 k_B^2 T}{3h} $$

Методы измерения теплопроводности электронов

Определение κ_e требует разделения электронного и фононного вкладов. Для этого применяют:

• Сравнительные методы — измерение общей теплопроводности при различных температурах и использование известной зависимости фононного вклада.
• Метод термоэлектрического зонда — локальное возбуждение и регистрация температурного профиля.
• Использование закона Видемана–Франца — вычисление κ_e по измеренной σ(T).