Теплопроводность решетки

Физическая природа теплопроводности решётки

В кристаллических твёрдых телах перенос тепла осуществляется двумя основными механизмами: движением свободных или квазисвободных электронов и колебаниями атомных узлов решётки, то есть фононами. В диэлектриках и полупроводниках при низких и умеренных температурах основной вклад в теплопроводность вносит именно решёточный механизм, поскольку электронная концентрация мала.

Теплопроводность решётки связана с переносом энергии упругих волн, распространяющихся по кристаллу. Каждый фонон переносит кванту энергии и импульса, а их взаимодействия определяют длину свободного пробега и, соответственно, величину теплопроводности.

Микроскопическая теория теплопроводности фононов

Перенос тепла решёткой можно описать с использованием уравнения Больцмана для фононов в приближении релаксационного времени:

$$ \kappa_L = \frac{1}{3} C_v v_s l $$

где:

  • κL — теплопроводность решётки,
  • Cv — теплоёмкость при постоянном объёме, связанная с фононными состояниями,
  • vs — средняя скорость звука в кристалле (средняя групповая скорость фононов),
  • l — средняя длина свободного пробега фононов.

Эта формула аналогична кинетической теории газов, но вместо молекул газа выступают фононы.

Механизмы рассеяния фононов

Длина свободного пробега фононов определяется различными процессами рассеяния:

  1. Рассеяние на дефектах и примесях Неупорядоченности структуры приводят к упругому рассеянию фононов. Это особенно важно при низких температурах, когда длина волны фононов велика, и даже малые дефекты эффективно рассеивают колебания.

  2. Рассеяние на границах образца При температурах, когда длина свободного пробега превышает размеры кристалла, рассеяние ограничивается геометрией образца. Это проявляется в области баллистического переноса тепла.

  3. Трёхфононные процессы (процессы Умклаппа) На высоких температурах преобладает ангармоническое взаимодействие фононов, приводящее к передаче импульса за пределы первой зоны Бриллюэна. Эти процессы препятствуют переносу тепла, уменьшая длину свободного пробега.

Температурная зависимость теплопроводности решётки

Температурная зависимость κL(T) для диэлектриков и полупроводников носит характерный вид:

  • При очень низких температурах (T ≪ ΘD, где ΘD — температура Дебая) теплоёмкость Cv ∝ T3, рассеяние определяется главным образом границами, поэтому κL ∝ T3.
  • В промежуточной области длина пробега ограничена примесями и дефектами, и κL растёт медленнее.
  • При температурах порядка ΘD и выше начинают доминировать процессы Умклаппа, и κL падает примерно как 1/T.

В результате зависимость κL(T) имеет максимум при T ≈ (0.05 − 0.2)ΘD.

Вклад акустических и оптических фононов

Наиболее существенную роль в переносе тепла играют акустические фононы, так как они обладают большей групповой скоростью и меньше рассеиваются на низких температурах. Оптические фононы имеют меньшую скорость и большую частоту, поэтому их вклад в теплопроводность заметен лишь при высоких температурах, когда они активно возбуждаются.

Влияние изотопного состава

Даже при идеальной кристаллической структуре наличие изотопов того же элемента приводит к рассеянию фононов из-за различия масс атомов. Этот эффект особенно важен в материалах с лёгкими атомами (например, в алмазе и кремнии). Изотопная очистка может значительно увеличить теплопроводность при низких температурах.

Экстремальные случаи: сверхвысокая и сверхнизкая теплопроводность

  • Сверхвысокая теплопроводность наблюдается в алмазе (κL ≈ 2000 Вт/(м·К)) благодаря высокой скорости звука и низкой ангармоничности колебаний.
  • Сверхнизкая теплопроводность характерна для аморфных тел, где отсутствие дальнего порядка приводит к сильному рассеянию на всех масштабах.

Формализм Каллавея

Для более точного описания κL применяется модель Каллавея, в которой учитываются одновременно все механизмы рассеяния. Обратная длина свободного пробега записывается как сумма вкладов:

$$ \frac{1}{l_{\text{эфф}}} = \frac{1}{l_{\text{границы}}} + \frac{1}{l_{\text{дефекты}}} + \frac{1}{l_{\text{Умклаппа}}} $$

Такой подход позволяет теоретически предсказать поведение теплопроводности в широком диапазоне температур для конкретных материалов.

Оглавление