Тепловое расширение

Микроскопическая природа теплового расширения

Тепловое расширение твёрдых тел связано с изменением средних межатомных расстояний при повышении температуры. При тепловом возбуждении атомы кристаллической решётки совершают колебания около положений равновесия. Если потенциальная энергия взаимодействия атомов симметрична относительно положения равновесия (параболическая аппроксимация), среднее расстояние между атомами не изменяется с температурой. Однако реальный межатомный потенциал имеет ангармонический характер, вследствие чего среднее положение атомов смещается. Это смещение и вызывает макроскопическое расширение кристалла.

Чаще всего для описания взаимодействия используют потенциалы Морзе, Леннард-Джонса или более сложные эмпирические функции. Их асимметрия по координате приводит к тому, что при увеличении амплитуды колебаний (при нагревании) среднее расстояние между атомами растёт.

Линейное и объёмное тепловое расширение

Величину теплового расширения характеризуют двумя основными параметрами:

  • Коэффициент линейного теплового расширения

$$ \alpha_l = \frac{1}{L} \left( \frac{\partial L}{\partial T} \right)_P $$

где L — длина образца, T — температура, индекс P указывает на измерение при постоянном давлении.

  • Коэффициент объёмного теплового расширения

$$ \alpha_V = \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_P $$

где V — объём тела. Для изотропных кристаллов выполняется соотношение

αV ≈ 3αl

так как объём V ∼ L3.

Зависимость коэффициента теплового расширения от температуры

  1. При низких температурах ( T ≪ ΘD, где ΘD — температура Дебая) тепловое расширение подчиняется закону α ∝ T3, что связано с кубическим законом для теплоёмкости в модели Дебая и слабой ангармоничностью.

  2. При температурах порядка ΘD коэффициент теплового расширения быстро возрастает, достигая характерных значений для данного материала.

  3. При высоких температурах ( T ≫ ΘD ) α обычно стремится к постоянной величине, связанной с насыщением амплитуды колебаний и линейной зависимостью внутренней энергии от температуры в классической области.

Связь теплового расширения с другими термодинамическими параметрами

В термодинамике существует фундаментальное соотношение, связывающее коэффициент теплового расширения αV с теплоёмкостью при постоянном давлении CP, коэффициентом изотермической сжимаемости κT и изменением давления с температурой при постоянном объёме:

$$ \alpha_V = \frac{\kappa_T}{V} \left( \frac{\partial S}{\partial P} \right)_T = \frac{\gamma C_V}{K_T V} $$

где γ — параметр Грюнайзена, KT = 1/κT — модуль объёмного сжатия.

Параметр Грюнайзена определяется как:

$$ \gamma = -\frac{V}{\omega} \left( \frac{\partial \omega}{\partial V} \right) $$

Он характеризует чувствительность частот фононных колебаний к изменению объёма и напрямую связывает ангармонические свойства решётки с тепловым расширением.

Микроскопическая интерпретация через фононы

В рамках фононной модели твёрдого тела тепловое расширение обусловлено изменением частот фононных мод при изменении объёма. При увеличении температуры возрастает населённость фононных состояний, а ангармоничность потенциала приводит к уменьшению частот колебаний при увеличении объёма. Это создаёт избыточное давление, компенсируемое расширением кристалла.

Для каждого фононного состояния можно ввести собственный параметр Грюнайзена γi, а усреднённый по всем модам параметр определяет макроскопическое значение теплового расширения:

$$ \alpha_V = \frac{\gamma C_V}{K_T V} $$

где CV — теплоёмкость при постоянном объёме, зависящая от температуры через фононное распределение Бозе — Эйнштейна.

Аномалии теплового расширения

Некоторые материалы проявляют отрицательное тепловое расширение в определённых температурных диапазонах. Это означает, что при нагревании они уменьшают свои размеры. Причины могут быть различными:

  • наличие низкочастотных поперечных фононных мод с отрицательным параметром Грюнайзена;
  • специфическая кристаллическая структура, где при нагревании углы между связями изменяются так, что структура уплотняется;
  • фазовые переходы, сопровождающиеся изменением объёма.

Примеры таких материалов: кварц при низких температурах, ZrW₂O₈, некоторые полимеры и композиты.

Практическое значение теплового расширения

Тепловое расширение необходимо учитывать:

  • в проектировании мостов, трубопроводов, рельсов, где оставляют температурные зазоры;
  • в микро- и наноэлектронике, где различие коэффициентов теплового расширения материалов в многослойных структурах может вызывать механические напряжения и разрушения;
  • в оптических приборах, где даже микроскопические изменения размеров влияют на фокусировку и юстировку.

Для снижения тепловых деформаций используют специальные материалы с малым или контролируемым тепловым расширением (инвар, керамики на основе кварца, композиты).

Оглавление