Физическая основа Рассмотрим кристалл как периодическую трёхмерную решётку, узлы которой обладают одинаковыми рассеивающими свойствами. При облучении кристалла монохроматическим пучком рентгеновских лучей каждый атом становится источником вторичных волн, которые интерферируют между собой. Усиление рассеянной волны возможно только тогда, когда фазы вторичных волн складываются когерентно, что требует выполнения строгого геометрического условия.
Вывод условия Лауэ Пусть исходная плоская волна описывается вектором волнового числа k0, а рассеянная волна — вектором k. Для когерентного усиления амплитуды рассеянного излучения в кристалле должно выполняться условие:
k − k0 = G
где G — вектор обратной решётки, который задаёт периодичность кристалла в пространстве обратных координат.
С учётом модуля волнового вектора $|\mathbf{k}| = |\mathbf{k_0}| = \frac{2\pi}{\lambda}$, получаем, что условие Лауэ сводится к уравнению:
a1 ⋅ (k − k0) = 2πh
a2 ⋅ (k − k0) = 2πk
a3 ⋅ (k − k0) = 2πl
Здесь a1, a2, a3 — примитивные векторы прямой решётки, а h, k, l — целые числа, индексы Миллера для соответствующих семейств кристаллографических плоскостей.
Геометрическая интерпретация Условие Лауэ означает, что разность волновых векторов падающей и рассеянной волн должна совпадать с одним из векторов обратной решётки. В пространстве обратной решётки это эквивалентно тому, что конец вектора k лежит на сфере Эвальда, пересекающей узлы обратной решётки.
Практическое значение Условие Лауэ удобно использовать для анализа трёхмерных дифракционных картин и при работе с непараллельными пучками излучения, а также для определения ориентации кристалла и поиска его симметрий в рентгеновских экспериментах.
Суть закона Лаувовское условие можно переформулировать в более наглядной форме, если рассматривать не весь трёхмерный кристалл, а отражение от семейства параллельных кристаллографических плоскостей с межплоскостным расстоянием dhkl. В этом случае условие конструктивной интерференции принимает вид закона Вульфа–Брэгга:
nλ = 2dhklsin θ
где:
Вывод из волновой интерференции Пусть на две соседние параллельные атомные плоскости падает когерентная волна. Волны, отражённые от этих плоскостей, будут иметь разность хода:
Δ = 2dhklsin θ
Для того чтобы наблюдалось усиление (максимум дифракции), эта разность хода должна быть равна целому числу длин волн, что и даёт формулу Брэгга.
Геометрическая интерпретация Закон Брэгга можно рассматривать как эквивалент условия Лауэ, но в пространстве прямой решётки. Он описывает геометрию отражения рентгеновских лучей от кристаллографических плоскостей и связывает угол отражения с параметрами кристаллической решётки.
Взаимосвязь условий Лауэ и Брэгга Формально, оба подхода эквивалентны:
$$ \mathbf{G} = \frac{2\pi}{d_{hkl}} \mathbf{n} $$
$$ \theta = \arcsin \left( \frac{n\lambda}{2d_{hkl}} \right) $$
где n — единичный вектор нормали к плоскости.
1. Определение параметров кристаллической решётки Используя измеренные углы Брэгга для разных порядков дифракции и известную длину волны излучения, можно найти dhkl и параметры элементарной ячейки.
2. Идентификация кристаллических фаз Сравнивая экспериментальные данные с теоретическими значениями dhkl, можно определять тип кристаллической решётки и симметрию материала.
3. Исследование дефектов и искажений решётки Смещение пиков дифракции, расширение линий или изменение интенсивности сигналов по углам Брэгга указывает на наличие внутренних напряжений, дислокаций или других дефектов.
4. Анализ ориентации кристаллов (текстуры) Положение дифракционных максимумов в пространстве углов позволяет строить карты ориентаций зёрен в поликристаллических материалах.