Закон Ома в микроскопической теории

Микроскопическая природа закона Ома

Закон Ома, сформулированный в макроскопической форме как

j = σE

где j — плотность электрического тока, σ — удельная электропроводность, а E — электрическое поле, описывает линейную зависимость тока от приложенного поля. В микроскопической теории задача состоит в том, чтобы вывести эту зависимость, исходя из законов движения носителей заряда в кристаллической решётке, с учётом рассеяния на дефектах, фононах и примесях.

В модели почти свободных электронов электроны движутся в периодическом потенциале и обладают квазиимпульсом k, а их динамика описывается уравнением:

$$ \hbar \frac{d\mathbf{k}}{dt} = -e \mathbf{E} $$

в случае постоянного электрического поля. При отсутствии столкновений электроны будут непрерывно набирать энергию, что противоречит наблюдаемой стационарной проводимости. Это указывает на необходимость учёта механизмов релаксации.

Механизм релаксации и время релаксации

Рассмотрим простейшую τ-аппроксимацию (модель Друде–Сомерфельда), в которой предполагается, что после каждого столкновения электрон “забывает” предыдущее состояние и возвращается к локальному равновесию. Тогда среднее время между столкновениями τ определяет характер проводимости.

Уравнение движения среднего импульса электрона:

$$ m^* \frac{d\mathbf{v}}{dt} = -e \mathbf{E} - \frac{m^*\mathbf{v}}{\tau} $$

В стационарном режиме (dv/dt = 0) получаем:

$$ \mathbf{v} = -\frac{e\tau}{m^*} \mathbf{E} $$

где m^* — эффективная масса электрона.

Вывод закона Ома из кинетической теории

Плотность тока выражается как

j = −env

Подставляя выражение для v, получаем:

$$ \mathbf{j} = \frac{n e^2 \tau}{m^*} \mathbf{E} $$

Таким образом, электропроводность

$$ \sigma = \frac{n e^2 \tau}{m^*} $$

и закон Ома возникает как естественное следствие уравнений движения с учётом релаксации.

Модель Друде и её ограничения

Модель Друде, несмотря на простоту, объясняет многие особенности проводимости:

Прямая пропорциональность проводимости концентрации носителей n и времени релаксации τ.
Обратная пропорциональность проводимости эффективной массе m^*.
Линейная зависимость тока от электрического поля при слабых полях.

Однако она не учитывает:

Квантовую статистику Ферми–Дирака (особенно при низких температурах).
Энергетическую зависимость времени релаксации.
Анизотропию зонной структуры.

Зонная структура и анизотропная проводимость

В реальном кристалле поверхность Ферми может иметь сложную форму, а эффективная масса электронов — зависеть от направления в пространстве. Это приводит к анизотропии проводимости, которую необходимо описывать с использованием тензора электропроводности:

j_i = ∑_jσ_ijE_j

В этом случае закон Ома сохраняет форму, но σ_ij является не скаляром, а тензором второго ранга.

Учёт фононного и примесного рассеяния

Время релаксации τ определяется суммарным вкладом различных механизмов:

$$ \frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_{\text{фононы}}} + \frac{1}{\tau_{\text{примеси}}} + \frac{1}{\tau_{\text{дефекты}}} $$

Фононное рассеяние преобладает при высоких температурах, давая зависимость τ ∝ T⁻¹.
Рассеяние на примесях доминирует при низких температурах, где τ практически не зависит от T.

Это приводит к характерной температурной зависимости сопротивления металлов: рост при нагреве и насыщение при охлаждении.

Квантово-механический подход: уравнение Больцмана

В рамках кинетического уравнения Больцмана для функции распределения электронов f(k, t) при слабом поле записывается линейная аппроксимация:

$$ -e\mathbf{E} \cdot \frac{\partial f_0}{\partial \mathbf{k}} = -\frac{f - f_0}{\tau} $$

где f₀ — равновесное распределение Ферми–Дирака. Решение этого уравнения позволяет строго вывести выражение для проводимости, аналогичное модели Друде, но с учётом статистики фермионов и формы поверхности Ферми.

Микроскопическое происхождение линейности закона Ома

Линейная зависимость j ∝ E возникает в области линейного отклика, когда возмущение от электрического поля мало по сравнению с тепловой энергией носителей. При больших полях (eEτ ≫ k_BT) наблюдаются нелинейные эффекты: насыщение дрейфовой скорости, горячие электроны, лавинная ионизация. Эти явления выходят за рамки закона Ома, что подчёркивает его ограниченность как низкополевого приближения.