Закон Видемана-Франца

Формулировка закона Видемана–Франца Закон Видемана–Франца устанавливает соотношение между теплопроводностью и электрической проводимостью металлов в области, где перенос зарядов и тепла осуществляется в основном электронами проводимости. Согласно этому закону, отношение теплопроводности κ к электрической проводимости σ, умноженное на температуру T, является постоянным:

$$ \frac{\kappa}{\sigma T} = L $$

где L — постоянная Лоренца. В идеализированной теории свободных электронов при высоких температурах (по сравнению с температурой Ферми) эта постоянная имеет вид:

$$ L_0 = \frac{\pi^2}{3} \left( \frac{k_B}{e} \right)^2 $$

и численно равна L0 ≈ 2.44 × 10−8 Вт ⋅ Ω/K2.

Микроскопическое обоснование В рамках модели Друде–Соммерфельда электрон рассматривается как фермион в металлической решётке, на который действуют законы статистики Ферми–Дирака. Перенос тепла и электрического заряда в металле связан с одними и теми же носителями — электронами проводимости.

При приложении электрического поля электрон получает приращение импульса, что приводит к возникновению электрического тока. Аналогично, при наличии градиента температуры электронный газ переносит энергию, создавая тепловой поток. При этом время релаксации τ, определяющее частоту столкновений, оказывается одинаковым как для электрического, так и для теплового переноса (при условии, что доминирует рассеяние на одинаковых центрах, например, фононах).

В результате решения уравнения Больцмана с использованием приближения релаксационного времени для электронной системы получаем:

$$ \sigma = \frac{n e^2 \tau}{m} $$

$$ \kappa = \frac{\pi^2}{3} \frac{n k_B^2 T \tau}{m} $$

Деление второго выражения на первое с учётом температуры приводит к постоянству L и тем самым к закону Видемана–Франца.

Физический смысл постоянной Лоренца Постоянная Лоренца L отражает фундаментальную связь между способностью электронов переносить тепло и заряд. Поскольку электроны — квантовые частицы, подчиняющиеся статистике Ферми–Дирака, их энергия при тепловых возмущениях определяется положением уровня Ферми. Это приводит к тому, что даже при очень низких температурах теплопроводность не обращается в ноль, а определяется возбуждениями вблизи поверхности Ферми.

Величина L0 выводится из интеграла по распределению Ферми–Дирака с использованием разложения по температуре (приближение Соммерфельда). Ключевым моментом является то, что как электрическая, так и тепловая проводимости пропорциональны одному и тому же времени релаксации.

Температурная зависимость и отклонения В идеализированном случае свободного электронного газа при температурах T ≪ TF (где TF — температура Ферми) закон Видемана–Франца выполняется с высокой точностью. Однако в реальных металлах могут наблюдаться отклонения:

  1. При низких температурах — рассеяние электронов на примесях доминирует, и время релаксации почти не зависит от энергии. Закон выполняется практически идеально.
  2. При промежуточных температурах — вклад фононного рассеяния увеличивается, что приводит к слабой температурной зависимости L(T).
  3. При высоких температурах — сильное взаимодействие с фононами и возможные процессы неупругого рассеяния приводят к заметным отклонениям от L0.
  4. В металлах с сильной электронной корреляцией (тяжёлые фермионы, высокотемпературные сверхпроводники в нормальном состоянии) — постоянная Лоренца может существенно отличаться от стандартного значения из-за наличия квазичастиц с эффективной массой, сильно отличающейся от массы свободного электрона.

Экспериментальное подтверждение Первые измерения Видемана и Франца (1853) были проведены задолго до появления квантовой теории твёрдого тела. Несмотря на несовершенство методов XIX века, они показали, что для широкого диапазона металлов при комнатной температуре отношение κ/(σT) близко к постоянному.

Современные высокоточные эксперименты подтверждают закон с высокой степенью точности при низких температурах, особенно в чистых образцах, где доминирует упругое рассеяние на дефектах.

Для проверки используются:

  • метод измерения теплопроводности с помощью градиента температуры и теплового потока;
  • метод четырёхзондового измерения электрической проводимости;
  • сравнение данных при различных температурах для выявления отклонений.

Значение в физике конденсированного состояния Закон Видемана–Франца является важным инструментом в исследовании транспортных свойств металлов. Он позволяет:

  • оценивать вклад электронов в теплопроводность;
  • проверять теоретические модели рассеяния;
  • выявлять аномалии, указывающие на сильную электронную корреляцию или наличие необычных квазичастиц;
  • отделять электронную и фононную составляющие теплопереноса в сложных материалах.
Оглавление