Кристаллический потенциал и образование энергетических зон
В полупроводниках, как и в других кристаллических твердых телах, электроны движутся в периодическом потенциале, создаваемом ионными решетками. Согласно теореме Блоха, волновые функции электронов имеют вид
ψnk(r) = unk(r)eik ⋅ r,
где unk(r) — функция, повторяющая период решетки, n — номер зоны, k — волновой вектор.
Периодический потенциал приводит к разделению энергетического спектра на разрешенные и запрещенные области — энергетические зоны и щели. При определенных значениях k (границы зоны Бриллюэна) взаимодействие между плоской волной и периодическим потенциалом приводит к расщеплению уровней и образованию запрещенной зоны.
Запрещенная зона и характерные величины
Запрещенная зона Eg — это диапазон энергий, в котором электронные состояния отсутствуют. Она разделяет валентную зону (зону, заполненную электронами при T = 0) и зону проводимости (зону, где электроны могут свободно перемещаться, создавая электрический ток).
Величина Eg определяет электронные и оптические свойства полупроводника:
Прямозонные и непрямозонные полупроводники
В прямозонных полупроводниках минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны находятся при одном и том же волновом векторе k (GaAs, InP). При оптических переходах электрон может поглотить или излучить фотон без участия фононов.
В непрямозонных полупроводниках (Si, Ge) минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны имеют разные k. Для межзонного перехода требуется дополнительный перенос импульса, что делает оптические процессы менее вероятными и требует участия фононов.
Эффективная масса и дисперсионное соотношение
Вблизи экстремумов зон дисперсионное соотношение E(k) можно аппроксимировать параболой:
$$ E(\mathbf{k}) \approx E_c + \frac{\hbar^2 (\mathbf{k} - \mathbf{k}_0)^2}{2m^*}, $$
где m* — эффективная масса электрона или дырки, отражающая кривизну зоны. Эффективная масса может сильно отличаться от массы свободного электрона и быть анизотропной.
Дырки и зонная структура валентной зоны
Валентная зона в полупроводниках с кубической симметрией часто имеет сложную структуру, состоящую из подзон:
Заполнение зон при нагреве или оптическом возбуждении приводит к появлению дырок — квазичастиц, соответствующих отсутствию электрона в валентной зоне, которые ведут себя как положительно заряженные носители.
Влияние примесей на зонную структуру
Введение примесей изменяет электронную структуру:
При высоких концентрациях примеси могут приводить к слиянию уровней и образованию импуритной зоны, изменяющей ширину запрещенной щели.
Температурная зависимость зонной структуры
Ширина запрещенной зоны уменьшается с ростом температуры из-за расширения кристаллической решетки и усиления электрон-фононного взаимодействия. Для большинства полупроводников эмпирическая зависимость описывается уравнением Варшни:
$$ E_g(T) = E_g(0) - \frac{\alpha T^2}{T + \beta}, $$
где α и β — параметры, зависящие от материала.
Квантовые эффекты и размерная квантизация
В наноструктурах (квантовые точки, нанопроволоки, квантовые ямы) движение электронов ограничено в одном или нескольких направлениях, что приводит к дискретизации уровней энергии. Размерная квантизация изменяет эффективную ширину запрещенной зоны, сдвигая спектр в область больших энергий при уменьшении размеров структуры.
Методы расчета зонной структуры
Для теоретического описания применяют: