Зонная теория твердых тел

Основные положения зонной теории

Зонная теория твёрдых тел является фундаментальным разделом физики конденсированного состояния, объясняющим электронные свойства кристаллов на основе квантово-механического описания движения электронов в периодическом потенциальном поле ионов решётки. Она позволяет предсказывать проводимость, оптические характеристики, теплопроводность и ряд других свойств материалов.

В основе теории лежит рассмотрение электронов в периодическом потенциале, который создаётся упорядоченной системой атомов. Согласно теореме Блоха, волновые функции электронов в таком поле могут быть представлены в виде произведения плоской волны на функцию, обладающую периодичностью кристаллической решётки.

Энергетические зоны и запрещённые щели

При решении уравнения Шрёдингера для электронов в периодическом потенциале обнаруживается, что возможные значения энергии образуют непрерывные интервалы — энергетические зоны, разделённые запрещёнными зонами (энергетическими щелями), в которых движение электрона невозможно.

  • Валентная зона — зона, заполненная электронами при низких температурах.
  • Зона проводимости — зона, в которую электроны могут попасть, получив достаточную энергию, и участвовать в электрической проводимости.
  • Запрещённая зона (ширина ΔE_g) — область энергий, недоступная для электрона в кристалле.

Ширина запрещённой зоны определяет электрические свойства:

  • Проводники — зоны перекрываются, запрещённая зона отсутствует.
  • Полупроводники — ΔE_g обычно в пределах 0,1–3 эВ.
  • Диэлектрики — ΔE_g > 3–4 эВ.

Методы расчёта зонной структуры

Для количественного описания зон используют различные приближения:

  1. Приближение почти свободных электронов Электроны рассматриваются как квазисвободные частицы, на которые периодический потенциал оказывает слабое влияние. Это позволяет объяснить образование щелей на границах зон Бриллюэна.

  2. Метод сильной связи (tight-binding) Используется, когда электрон сильно локализован вблизи атома. Волновая функция представляется линейной комбинацией атомных орбиталей соседних атомов. Этот метод особенно эффективен для описания валентных зон в ионных и ковалентных кристаллах.

  3. Методы численного расчёта Современные подходы используют плотностный функционал (DFT) и другие квантово-химические методы для точного вычисления зонных диаграмм реальных материалов.

Зоны Бриллюэна и k-пространство

Состояния электронов в кристалле удобно описывать в обратном пространстве (k-пространстве). Первая зона Бриллюэна — это область в k-пространстве, содержащая все возможные уникальные состояния электрона до начала повторения структуры.

На границах зон Бриллюэна происходит дифракция электронных волн на периодическом потенциале, что приводит к появлению энергетических щелей.

Эффективная масса электрона

В зонной теории вводится понятие эффективной массы m*, отражающей кривизну зависимости энергии E(k). Эффективная масса может существенно отличаться от массы свободного электрона и даже быть отрицательной для дырок.

Эффективная масса определяет:

  • подвижность носителей заряда;
  • динамику в электрических и магнитных полях;
  • плотность состояний в зоне.

Ферми-уровень

Уровень Ферми — это энергия, ниже которой при абсолютном нуле все состояния заполнены электронами, а выше — пусты. Положение уровня Ферми относительно зон определяет проводимость:

  • у металлов он находится внутри зоны;
  • у полупроводников и диэлектриков — в запрещённой зоне.

Влияние температуры и примесей

В полупроводниках с увеличением температуры часть электронов из валентной зоны переходит в зону проводимости, создавая электронно-дырочные пары. Примеси изменяют проводимость:

  • донорные примеси создают дополнительные электроны;
  • акцепторные примеси создают дополнительные дырки.

Это лежит в основе работы транзисторов, диодов и других полупроводниковых приборов.

Оптические переходы и фотоэффекты в зонах

Поглощение фотонов с энергией, равной или большей ΔE_g, вызывает переходы электронов между зонами, что проявляется в спектрах поглощения. В некоторых материалах возможны непрямые переходы, требующие участия фононов.

Зонная инженерия

Современные технологии позволяют управлять зонной структурой:

  • формировать гетероструктуры с разной шириной щели;
  • создавать квантовые ямы, проволоки и точки для управления движением электронов;
  • применять напряжение решётки для изменения ΔE_g.

Эти методы лежат в основе оптоэлектроники, солнечных элементов и наноэлектроники.

Оглавление