Зоны Бриллюэна

Понятие зон Бриллюэна

В кристаллических твердых телах электронные состояния определяются периодической структурой потенциала, создаваемого ионами решетки. Одним из ключевых понятий в зонной теории является представление о зонах Бриллюэна, которые являются фундаментальной конструкцией в обратном пространстве и определяются как области, в которых волновые векторы электрона рассматриваются как уникальные (неэквивалентные по трансляциям обратной решетки).

Зона Бриллюэна — это ячейка Вигнера–Зейтца, построенная в обратной решетке. Она определяется как множество точек в k-пространстве, которые находятся ближе к выбранному узлу обратной решетки, чем к любому другому узлу. Такое определение делает зоны Бриллюэна естественным способом упорядочивания и классификации волновых векторов, связанных с волнами Блоха в кристалле.

Обратная решетка и построение первой зоны Бриллюэна

  1. Обратная решетка Обратная решетка определяется векторными базисами

    $$ \mathbf{b}_1 = 2\pi \frac{\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}, \quad \mathbf{b}_2 = 2\pi \frac{\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}, \quad \mathbf{b}_3 = 2\pi \frac{\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)}, $$

    где ai — векторы примитивной ячейки в прямом пространстве.

  2. Построение первой зоны Бриллюэна

    • Выбирается узел обратной решетки (обычно в начале координат, k = 0).
    • Для каждого ближайшего узла проводится перпендикулярная плоскость, равноудаленная от начала координат и данного узла.
    • Область пространства, ограниченная такими плоскостями и содержащая начало координат, образует первую зону Бриллюэна.

  3. Высшие зоны Следующие зоны Бриллюэна формируются аналогичным образом, но включают области k-пространства, ближайшие к узлам второго, третьего и более дальних порядков.

Геометрия и симметрия зон Бриллюэна

Форма зоны Бриллюэна зависит от симметрии кристаллической решетки:

  • Для простой кубической решетки — первая зона Бриллюэна имеет форму куба.
  • Для объемно-центрированной кубической (ОЦК) решетки — форма октаэдрическая, грани образованы плоскостями, перпендикулярными векторам (±1, ±1, ±1).
  • Для гранецентрированной кубической (ГЦК) решетки — форма сложнее, представляет собой усеченный октаэдр.
  • Для двумерных гексагональных решеток — зона Бриллюэна имеет шестиугольную симметрию.

Физический смысл зон Бриллюэна

Зоны Бриллюэна отражают условия Брэгговского отражения волн в кристалле. При пересечении границы зоны выполняется условие дифракции:

k′ = k + G,

где G — вектор обратной решетки.

На границах зон электронные состояния претерпевают сильное взаимодействие с периодическим потенциалом решетки, что приводит к возникновению зонных щелей — энергетических интервалов, в которых запрещены электронные состояния. Это явление лежит в основе формирования зонной структуры твердого тела.

Особые точки и линии зон Бриллюэна

В симметричных точках и направлениях k-пространства часто происходят важные физические процессы:

  • Точки высокой симметрии (Γ, X, L, K, M и др.) являются опорными при построении диаграмм зонной структуры.
  • Линии высокой симметрии соединяют такие точки и позволяют упростить описание дисперсионных зависимостей ε(k).

Маршруты в зоне Бриллюэна, проходящие через такие точки, стандартизированы (например, в табличных данных Международной комиссии по кристаллографии) для сравнения зонных диаграмм различных материалов.

Связь с волнами Блоха и теоремой Блоха

Согласно теореме Блоха, волновая функция электрона в периодическом потенциале может быть записана как:

ψk(r) = eik ⋅ ruk(r),

где uk(r) обладает периодичностью кристаллической решетки.

Векторы k, различающиеся на вектор обратной решетки, описывают физически эквивалентные состояния. Поэтому ограничение множества k первой зоной Бриллюэна исключает дублирование описаний и обеспечивает полное, но нен redundantное представление спектра.

Экспериментальное определение зон Бриллюэна

В реальной практике форма и размеры зоны Бриллюэна могут быть определены методами:

  • Угловой фотоэлектронной спектроскопии (ARPES) — прямое измерение дисперсии электронов в k-пространстве.
  • Нейтронной и рентгеновской дифракции — определение векторов обратной решетки и симметрий кристалла.
  • Дифракции низкоэнергетических электронов (LEED) — анализ поверхностных зон Бриллюэна.

Эти методы позволяют не только построить границы зоны, но и выявить особенности зонной структуры, включая анизотропию эффективных масс и топологию поверхностей Ферми.

Зоны Бриллюэна в теории и расчетах

В вычислительной физике зонная структура часто моделируется в приближениях:

  • Метод плоских волн (Plane Wave Expansion).
  • Метод псевдопотенциала.
  • Метод плоских волн с проекцией на атомные орбитали (PAW).

Интегрирование по зоне Бриллюэна играет ключевую роль в расчетах свойств твердого тела, таких как плотность состояний, тепловая проводимость, оптический отклик. Для этого применяются специальные сетки k-точек (схема Монка–Парка, тетраэдрический метод).

Оглавление