Эффективная масса электронов

Эффективная масса — это фундаментальная концепция в физике материалов, позволяющая описывать движение электронов в кристаллической решётке как движение свободных частиц с модифицированной массой. В кристалле взаимодействие электронов с периодическим потенциалом ионизованных атомов приводит к отклонению от закона Ньютона для свободных частиц. Для описания таких отклонений вводится параметр m*, называемый эффективной массой. Она учитывает как структуру энергетических зон, так и кривизну зонной поверхности вблизи экстремальных точек (например, дна зоны проводимости или вершины валентной зоны).

Эффективная масса определяется через зонную энергию E(k) как:

$$ \frac{1}{m^*_{ij}} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E(\mathbf{k})}{\partial k_i \partial k_j}, $$

где ℏ — приведённая постоянная Планка, k — волновой вектор, а индексы i, j соответствуют пространственным направлениям. В простейшем случае изотропной зоны эффективная масса становится скаляром:

$$ m^* = \hbar^2 \left( \frac{d^2 E}{d k^2} \right)^{-1}. $$

Эта формула подчеркивает ключевой факт: чем больше кривизна E(k), тем меньше эффективная масса, и наоборот.

Физический смысл

Эффективная масса отражает динамическое поведение электрона в кристалле:

  • Лёгкие электроны (m* < m0, где m0 — масса свободного электрона) обладают высокой подвижностью и быстро реагируют на приложенное электрическое поле.
  • Тяжёлые электроны (m* > m0) двигаются медленнее и подвержены большему рассеянию.

Важно отметить, что эффективная масса может быть отрицательной, что характерно для электронов вблизи вершин валентной зоны. В этом случае носитель заряда ведёт себя как дырка с положительным зарядом и положительной массой.

Анизотропия и тензор эффективной массы

В реальных кристаллах зоны могут быть анизотропными. Тогда эффективная масса описывается тензором:

$$ \mathbf{m}^{*-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_x^2} & \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_x \partial k_y} & \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_x \partial k_z} \\ \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_y \partial k_x} & \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_y^2} & \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_y \partial k_z} \\ \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_z \partial k_x} & \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_z \partial k_y} & \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_z^2} \end{pmatrix}. $$

Тензорная форма особенно важна при описании полупроводников с многодольными зонами, таких как Ge и GaAs, где поведение электронов и дырок существенно зависит от направления движения.

Методы определения эффективной массы

Экспериментальные методы:

  1. Циклотронный резонанс — измерение частоты движения электронов в магнитном поле позволяет вычислить m* по формуле $\omega_c = \frac{eB}{m^*}$, где ωc — циклотронная частота, B — магнитная индукция, e — заряд электрона.
  2. Оптическая спектроскопия — анализ поглощения и отражения вблизи краевых переходов позволяет определить кривизну зоны.
  3. Электропроводность и подвижность — через известные значения подвижности μ и времени релаксации τ можно косвенно оценить эффективную массу: μ = eτ/m*.

Теоретические методы:

  • Псевдопотенциальные методы — вычисление зонной структуры с последующим дифференцированием E(k).
  • Методы плотностного функционала (DFT) — позволяют получать точные значения эффективной массы для сложных материалов.

Роль эффективной массы в свойствах полупроводников

Эффективная масса напрямую влияет на:

  • Подвижность носителей: μ = eτ/m*. Чем меньше масса, тем выше проводимость при фиксированном времени релаксации.
  • Плотность состояний в зоне проводимости:

$$ g(E) \sim \left( m^* \right)^{3/2} \sqrt{E - E_c}, $$

где Ec — энергия дна зоны проводимости.

  • Термодинамические свойства: теплоёмкость электронов и вклад в термоэлектрические эффекты зависят от m*.

Эффективная масса также определяет интенсивность оптических переходов и влияет на параметры лазеров на полупроводниках, фотодиодов и других устройств.

Примеры значений эффективной массы

Материал Электроны me*/m0 Дырки mh*/m0
Si 0.26–1.08 0.39–0.49
Ge 0.12–1.58 0.29–0.34
GaAs 0.067 0.5–0.8
InSb 0.014 0.43

Разнообразие значений отражает анизотропность и особенности зонной структуры. Малые массы характерны для материалов с высокой мобильностью, что делает их идеальными для высокочастотных и оптоэлектронных приложений.

Влияние давления и температуры

Эффективная масса не является постоянной величиной. Она зависит от:

  • Температуры: повышение температуры приводит к термическому расширению решётки, изменению кривизны зон и, соответственно, m*.
  • Давления: сжатие кристалла изменяет межатомные расстояния и потенциал, что может уменьшать или увеличивать кривизну E(k).
  • Примесей и легирования: внедрение доноров или акцепторов может локально менять зоны и влиять на эффективную массу через деформацию кристалла.

Эти эффекты особенно важны при разработке материалов для высокотемпературной электроники и устройств, работающих под экстремальным давлением.

Оглавление