Элементарная ячейка и кристаллические системы

Понятие элементарной ячейки

Элементарная ячейка — это минимальная структурная единица кристаллической решётки, многократное повторение которой посредством параллельных переносов в трёхмерном пространстве позволяет воспроизвести всю кристаллическую структуру без пробелов и перекрытий. Она определяется векторным базисом решётки, состоящим из трёх некомпланарных трансляционных векторов a, b, c, задающих её размеры и форму.

Каждая элементарная ячейка характеризуется:

  • параметрами решётки — длинами векторов a, b, c;
  • углами между ними — α (между b и c), β (между a и c), γ (между a и b).

Таким образом, элементарная ячейка полностью описывается шестью величинами: a, b, c, α, β, γ.

Типы элементарных ячеек

Существует несколько способов выбора элементарной ячейки. Наиболее важные:

  1. Примитивная ячейка (P) — содержит только одну решёточную точку и является минимальной по объёму.

  2. Не-примитивная ячейка — содержит более одной решёточной точки, но удобна для описания симметрии. Примеры:

    • объёмно-центрированная (I),
    • гранецентрированная (F),
    • основаниецентрированная (C, A или B в зависимости от оси центровки).

Выбор типа элементарной ячейки важен для упрощения анализа симметрии и свойств кристалла.

Кристаллографические системы

Все возможные элементарные ячейки кристаллов классифицируются в зависимости от соотношений длин рёбер a, b, c и углов α, β, γ. Эти комбинации приводят к семи кристаллографическим системам.

  1. Триклинная система

    • Условия: a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90°.
    • Наименее симметричная система.
    • Пример: кристаллы K₂Cr₂O₇.

  2. Моноклинная система

    • Условия: a ≠ b ≠ c, α = γ = 90°, β ≠ 90°.
    • Характеризуется наличием одной оси симметрии второго порядка.
    • Примеры: гипс (CaSO₄·2H₂O), слюда.

  3. Орторомбическая система

    • Условия: a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90°.
    • Симметрия выше, чем у моноклинной.
    • Примеры: оливин, сера.

  4. Тетрагональная система

    • Условия: a = b ≠ c, α = β = γ = 90°.
    • Характеризуется четырёхкратной осью симметрии.
    • Примеры: касситерит (SnO₂), циркон (ZrSiO₄).

  5. Ромбическая (тригональная, тригональная часть гексагональной группы)

    • Условия: a = b = c, α = β = γ ≠ 90°.
    • Иногда выделяют в отдельную тригональную систему.
    • Примеры: кварц (SiO₂), кальцит (CaCO₃).

  6. Гексагональная система

    • Условия: a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°.
    • Наличие шестикратной оси симметрии.
    • Примеры: графит, берилл.

  7. Кубическая система

    • Условия: a = b = c, α = β = γ = 90°.
    • Обладает наивысшей симметрией среди всех систем.
    • Примеры: NaCl, алмаз, медь.

Бравеевы решётки

Комбинация семи кристаллографических систем и способов центрирования приводит к 14 типам решёток, известных как решётки Браве. Они представляют все возможные виды трансляционной симметрии в трёхмерном пространстве.

  • Триклинная: 1 (P)
  • Моноклинная: 2 (P, C)
  • Орторомбическая: 4 (P, C, I, F)
  • Тетрагональная: 2 (P, I)
  • Ромбическая (тригональная): 1 (P)
  • Гексагональная: 1 (P)
  • Кубическая: 3 (P, I, F)

Итого — 14 уникальных типов решёток.

Симметрия элементарной ячейки

Каждая кристаллографическая система характеризуется определённым набором симметрийных операций: оси вращения, зеркальные плоскости, центр инверсии. Чем выше симметрия, тем меньше независимых параметров необходимо для описания ячейки.

  • В триклинной системе требуется все шесть параметров (a, b, c, α, β, γ).
  • В кубической системе достаточно одного параметра — длины ребра a.

Таким образом, симметрия напрямую влияет на упрощение описания структуры и на физические свойства материала, такие как анизотропия, упругие константы и свойства проводимости.

Физическое значение элементарной ячейки

Элементарная ячейка не является лишь геометрической абстракцией. Её параметры тесно связаны с реальными физическими свойствами кристаллов:

  • плотность упаковки атомов определяется типом решётки;
  • анизотропия физических свойств (теплопроводность, электропроводность, коэффициенты теплового расширения) обусловлена симметрией ячейки;
  • механические характеристики (прочность, упругость, пластичность) зависят от ориентации кристаллографических плоскостей;
  • электронные свойства связаны с периодичностью потенциала решётки.

Таким образом, знание элементарной ячейки и её симметрии является фундаментом для понимания поведения материалов в различных физических условиях.

Оглавление