Индексы Миллера

Для описания кристаллических плоскостей и направлений в твердых телах применяется специальная система обозначений, известная как индексы Миллера. Эти индексы позволяют формализовать геометрические характеристики решетки и служат универсальным инструментом для описания кристаллографических направлений, ориентировок зерен и закономерностей дифракции.

Индексы Миллера введены в середине XIX века У. Г. Миллером и до настоящего времени остаются стандартом в кристаллографии и физике материалов. Их универсальность состоит в том, что они одинаково применимы как для простых кристаллов (например, кубических), так и для более сложных структур (гексагональных, тетрагональных и др.).

Основные принципы построения индексов Миллера

1. Индексы для направлений (hkl):

  • В кристаллической решетке направление можно задать вектором, исходящим из начала координат.
  • В качестве базы используют векторы элементарной ячейки: a1, a2, a3.
  • Направление определяется целочисленными коэффициентами [uvw], которые выражают отношение вектора к векторам решетки.

2. Индексы для плоскостей (hkl):

  • Плоскость в решетке определяется своими пересечениями с осями координат.

  • Для построения индексов Миллера:

    1. Определяют точки пересечения плоскости с осями x, y, z, выраженные через параметры ячейки a, b, c.
    2. Берут обратные величины этих пересечений.
    3. Приводят полученные значения к минимальным целым числам.

  • Полученная тройка чисел записывается в круглых скобках (hkl) и называется индексами Миллера плоскости.

Пример: если плоскость пересекает оси в точках a, ∞, ∞, то обратные величины равны 1, 0, 0. Следовательно, индекс Миллера такой плоскости — (100).

Запись и обозначения

  • Направление: записывается в квадратных скобках [uvw].
  • Семейство направлений: записывается в угловых скобках ⟨uvw⟩. Оно включает все эквивалентные направления в данной системе симметрии. Например, в кубической решетке ⟨100⟩ означает направления [100], [010], [001] и их отрицательные аналоги.
  • Плоскость: обозначается в круглых скобках (hkl).
  • Семейство плоскостей: записывается фигурными скобками {hkl}. В кубической системе, например, {100} включает плоскости (100), (010), (001) и соответствующие им отрицательные.

Геометрическая интерпретация индексов

Индексы Миллера обладают четкой геометрической связью с кристаллографическими объектами:

  • Для направлений: [uvw] указывает на вектор, соединяющий начало координат с точкой ua1 + va2 + wa3.
  • Для плоскостей: (hkl) соответствует плоскости, нормаль к которой направлена вдоль вектора [hkl] (в кубической системе).

Таким образом, в кубической решетке существует простое соответствие между индексами направления и нормалью к плоскости. В некубических системах это соответствие теряется, и необходимы более сложные преобразования.

Индексы Миллера в различных кристаллических системах

Кубическая система:

  • Простота симметрии позволяет напрямую сопоставлять направление [hkl] и нормаль к плоскости (hkl).
  • Наиболее важные плоскости: (100), (110), (111). Они определяют основные плотные упаковки атомов.

Тетрагональная и ромбическая системы:

  • Индексы вычисляются аналогично, но из-за различия длин осей пересечения с осями выражаются через a, b, c.
  • Прямое соответствие между направлением и нормалью к плоскости отсутствует.

Гексагональная система:

  • Вводится расширенная система обозначений — четыре индекса Миллера (hkil).
  • Условие: h + k + i = 0.
  • Это облегчает описание симметрии гексагональной решетки, где присутствует шестиугольное основание.

Практическое значение индексов Миллера

  1. Дифракционные методы анализа (рентгенография, электронная дифракция):

    • Отражения на дифракционных картинах маркируются именно индексами Миллера.
    • Закон Брегга связывает углы дифракции с расстояниями между плоскостями dhkl.

  2. Механические свойства материалов:

    • Скользящие системы дислокаций определяются по плоскостям (hkl) и направлениям [uvw].
    • Пример: в ОЦК-решетке основной механизм пластичности связан с системами {110}⟨111⟩.

  3. Рост кристаллов и текстуры:

    • Поверхности роста часто ориентированы по плоскостям с низкими индексами, так как они имеют минимальную поверхностную энергию.
    • Текстуры в металлах описываются через ориентационные распределения, задаваемые индексами Миллера.

  4. Анизотропия физических свойств:

    • Электропроводность, теплопроводность, оптические характеристики зависят от кристаллографического направления.
    • Описание анизотропии невозможно без использования индексов Миллера.

Расстояния между плоскостями

Для анализа дифракции и плотности упаковки необходимо уметь рассчитывать межплоскостные расстояния dhkl.

  • Для кубической решетки:

$$ d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}} $$

  • Для тетрагональной решетки:

$$ d_{hkl} = \frac{1}{\sqrt{\frac{h^2 + k^2}{a^2} + \frac{l^2}{c^2}}} $$

  • Для ортогональных систем:

$$ d_{hkl} = \frac{1}{\sqrt{\frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2} + \frac{l^2}{c^2}}} $$

Эти выражения позволяют напрямую связывать структуру кристалла с экспериментальными дифракционными данными.

Оглавление