Модель Дебая является одной из ключевых теоретических концепций в физике твердого тела, позволяющей описывать тепловые свойства кристаллов на основе квантовой механики. В отличие от модели Эйнштейна, которая рассматривала атомы в кристалле как независимые гармонические осцилляторы с одной частотой колебаний, модель Дебая учитывает весь спектр возможных колебаний решетки и их распределение по частотам.
В основе модели лежит представление о кристалле как о сети атомов, связанных упругими силами. Классически энергия колебательного состояния атомов распределяется по степеням свободы согласно теореме о равномерном распределении энергии, но это приводит к несоответствиям при низких температурах: предсказанная теплоемкость не стремится к нулю, в то время как эксперименты показывают, что она уменьшается пропорционально T3.
Для исправления этого несоответствия Дебай предложил квантование колебаний решетки. Каждое нормальное колебание с частотой ω имеет энергию:
$$ E = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots $$
где ℏ — редуцированная постоянная Планка. Суммирование энергии всех колебательных мод позволяет получить выражение для внутренней энергии кристалла и его теплоемкости.
Ключевым элементом модели является плотность состояний колебаний g(ω), определяющая, сколько колебательных мод приходится на единицу частоты. Для кристаллов, рассматриваемых как непрерывная упругая среда, Дебай предложил приближение:
$$ g(\omega) = \frac{9 N}{\omega_D^3} \omega^2, \quad 0 \leq \omega \leq \omega_D $$
где N — число атомов в кристалле, ωD — дебаевская частота, определяемая условием сохранения общего числа колебательных мод:
∫0ωDg(ω)dω = 3N
Данное распределение отражает квадратичное увеличение числа мод с частотой при низких ω и обрывается на ωD, что соответствует физическому ограничению по длине волны колебаний, связанной с межатомным расстоянием.
Внутренняя энергия кристалла в модели Дебая вычисляется как интеграл по всем модам:
$$ U = \int_0^{\omega_D} \hbar \omega \left(\frac{1}{e^{\hbar \omega / k_B T} - 1}\right) g(\omega) d\omega $$
где kB — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура.
Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре, получаем теплоемкость при постоянном объеме:
$$ C_V = \frac{dU}{dT} = 9 N k_B \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2} dx $$
где ΘD = ℏωD/kB — дебаевская температура, а переменная x = ℏω/kBT.
Модель Дебая позволяет точно описывать теплоемкость кристаллов в двух предельных режимах:
Высокие температуры T ≫ ΘD: Интеграл стремится к ∫0∞x4ex/(ex − 1)2dx = π4/15, и теплоемкость стремится к классическому пределу Дюлонга-Пти:
CV ≈ 3NkB
Низкие температуры T ≪ ΘD: Используя разложение, получаем кубический закон Дебая:
$$ C_V \approx \frac{12 \pi^4}{5} N k_B \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 $$
Это полностью согласуется с экспериментальными данными для большинства кристаллов и объясняет наблюдаемое уменьшение теплоемкости при низких температурах.
Дебаевская температура ΘD — это характеристика кристалла, связанная с максимальной частотой колебаний его решетки. Она зависит от плотности материала и скорости распространения звуковых волн:
$$ \Theta_D = \frac{\hbar v_s}{k_B} \left(6 \pi^2 N/V \right)^{1/3} $$
где vs — средняя скорость звука в кристалле, V — объем кристалла. Высокие значения ΘD характерны для жестких материалов с сильными межатомными связями, таких как алмаз, а низкие — для мягких металлов.
Несмотря на успехи, модель Дебая имеет ряд ограничений:
Тем не менее, модель Дебая остается фундаментальной в физике твердых тел, обеспечивая точное качественное и количественное понимание температурной зависимости теплоемкости кристаллов.